Пример

Даны координаты вершин пирамиды \(A_1,A_2,A_3,A_4\).

Найти: 

1) Длину ребра \(A_1A_2\);

2) Угол между ребрами \(A_1A_2\) и \(A_1A_4\);

3) Угол между ребром \(A_1A_4\) и гранью \(A_1A_2A_3\);

4) Площадь грани \(A_1A_2A_3\);

5) Обьем пирамиды;

6) Уравнение прямой \(A_1A_2\);

7) Уравнение плоскости \(A_1A_2A_3\);

8) Уравнение высоты, опущенной из вершины \(A_4\) на грань \(A_1A_2A_3\). Сделать чертеж.

\[A_1(4,2,5), \quad A_2(0,7,2), \quad A_3(0,2,7), \quad A_4(1,5,0).\]
Решение:

1) Найдем длину ребра \(A_1A_2\) по формуле:

\[A_1A_2=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}=\sqrt{(4-0)^2+(2-7)^2+(5-2)^2}=\sqrt{16+25+9}=\sqrt 50=5 \sqrt 2.\]

 2) Угол \(\alpha\) между ребрами \(A_1A_2\) и \(A_1A_4\) равен углу между векторами \(A_1A_2\) \(A_1A_4\). Найдем координаты этих векторов:

\[\overrightarrow {A_1A_2}=(-4; 5; -3)\]

 \[\overrightarrow {A_1A_4}=(-3; 3; -5)\]

\[|\overrightarrow {A_1A_4}|=\sqrt {(-3)^2+3^2+(-5)^2}=\sqrt {9+9+25}=\sqrt {43}.\]

Запишем скалярное произведение векторов \(\overrightarrow {A_1A_2}\) и \(\overrightarrow {A_1A_4}\)

\[|\overrightarrow {A_1A_2}| |\overrightarrow {A_1A_4}| \cos \alpha=(\overrightarrow {A_1A_2},\overrightarrow {A_1A_4}),\]

откуда

\[\cos \alpha =\frac {(\overrightarrow {A_1A_2},\overrightarrow {A_1A_4})}{|\overrightarrow {A_1A_2}| |\overrightarrow {A_1A_4}|}=\frac {(-4) \cdot (-3)+5 \cdot 3+(-3) \cdot (-5)}{5 \sqrt 2  \cdot \sqrt {43}}=\frac {42}{5 \sqrt {86}}.\]

Тогда

\[\boxed {\alpha=\left( \arccos \frac {42}{5 \sqrt {86}} \right) \approx 25.07^{\circ}}\]

 3) Угол между ребром \(A_1A_4\) и гранью \(A_1A_2A_3\) найдем из формулы:

\[\sin \beta=\frac {(\overrightarrow {A_1A_4} \cdot \vec n)}{|\overrightarrow {A_1A_4}| \cdot |\vec n|},\]

\(\vec n\) - вектор нормали к плоскости \(A_1A_2A_3\).

Найдем уравнение плоскости \(A_1A_2A_3\):

\[\begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1  \end{vmatrix}=0;\]

\[\begin{vmatrix} x-4 & y-2 & z-5 \\ 0-4 & 7-2 & 2-5 \\0-4 & 2-2 & 7-5  \end{vmatrix}=0;\]

\[\begin{vmatrix} x-4 & y-2 & z-5 \\ -4 & 5 & -3 \\-4 & 0 & 2  \end{vmatrix}=0;\]

\[(x-4) \cdot \begin{vmatrix} 5 &-3 \\ 0 & 2 \end{vmatrix}-(y-2) \cdot \begin{vmatrix} -4 & -3 \\ -4 & 2 \end{vmatrix}+(z-5) \cdot \begin{vmatrix} -4 & 5 \\ -4 & 0 \end{vmatrix}=0;\]

 \[(x-4) \cdot 10-(y-2) \cdot (-8-12)+(z-5) \cdot 20=0;\]

\[10(x-4)+20(y-2)+20(z-5)=0;\]

\[x-4+2y-4+2z-10=0;\]

\[\boxed {x+2y+2z-18=0}\]

Следовательно, вектор нормали к плоскости \(A_1A_2A_3\) имеет координаты \((1; 2; 2)\).

Итак

\[\sin \beta= \frac{-3 \cdot 1+3 \cdot 2 -5 \cdot 2}{\sqrt {1+2^2+2^2} \cdot \sqrt {43}}=- \frac {7}{3 \cdot \sqrt {43}}.\]

\[\boxed {\beta =\arcsin \frac {7}{3 \cdot \sqrt {43}} \approx 20.84^{\circ}}\]

4) Найдем векторное произведение \(\overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3}:\)

Вектор \(\overrightarrow{A_1A_2}=(-4; 5; -3);\)

Вектор \(\overrightarrow{A_1A_3}=(-4; 0; 2);\)

 \[\overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3}=\begin {vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ -4 & 5 & -3 \\ -4 & 0 & 2 \end {vmatrix}=\vec i \cdot \begin {vmatrix} 5 &-3 \\ 0 & 2 \end{vmatrix}+\vec j \cdot \begin {vmatrix} -4 &-3 \\ -4 & 2 \end{vmatrix}+\vec k \cdot \begin {vmatrix} -4 & 5 \\ -4 & 0 \end{vmatrix}=10 \vec i+ 20 \vec j +20 \vec k =(10; 20; 20).\]

Тогда площадь грани \(A_1A_2A_3\) равна

\[S_{A_1A_2A_3}=\frac 12 \cdot |\overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3}|=\frac 12 \cdot \sqrt {10^2+20^2+20^2}=\frac 12 \cdot \sqrt {900}=\frac 12 \cdot 30=\boxed{15}.\]

5) Найдем смешанное произведение

\[\overrightarrow{A_1A_2} \cdot  \overrightarrow{A_1A_3} \cdot \overrightarrow{A_1A_4}=\begin {vmatrix} -4 & 5 & -3 \\ -4 & 0 & 2 \\ -3 & 3 & -5 \end {vmatrix}=-5 \cdot \begin {vmatrix} -4 &2 \\ -3 & -5 \end {vmatrix} -3 \cdot \begin {vmatrix} -4 &-3 \\ -4 & 2 \end {vmatrix}=-5 \cdot (20+6)-3 \cdot (-8-12)=\]

\[=-130+60=-70.\]

Тогда объем пирамиды:

\[V=\frac 16 \cdot |\overrightarrow{A_1A_2} \cdot  \overrightarrow{A_1A_3} \cdot \overrightarrow{A_1A_4}|=\frac {70} 6=11 \frac 23.\]

6) Уравнение прямой \(A_1A_2\):

\[\frac {x-x_1}{x_2-x_1}=\frac {y-y_1}{y_2-y_1}=\frac {z-z_1}{z_2-z_1};\]

\[\frac {x-4}{0-4}=\frac {y-2}{7-2}=\frac {z-5}{2-5};\]

\[ \boxed {\frac {x-4}{-4}=\frac {y-2}5=\frac {z-5}3}\]

7) Уравнение плоскости \(A_1A_2A_3\) уже найдено в пункте 3.

\[\boxed {x+2y+2z-18=0}\]

8) Уравнение высоты, опущенной из вершины \(A_4\) на грань \(A_1A_2A_3\).

Т. к. высота \(A_4H\) перпендикулярна плоскости \(A_1A_2A_3\), то в качестве ее направляющего вектора можно выбрать вектор нормали \(\vec n\). Т. к. прямая \(A_4H\) проходит через точку \(A_4\), то ее каноническое уравнение имеет вид:

\[\frac {x-x_4}{n_1}=\frac {y-y_4}{n_2}=\frac {z-z_4}{n_3};\]

\[\boxed {\frac {x-1}1=\frac {y-5}{2}=\frac {z}{2}}\]