Хвостам - НЕТ! - Центр помощи студентам

У нас Вы можете заказать решение задач или контрольной работы!

Решение задач и контрольных работ по высшей математике
Онлайн учебник  
 
Примеры решения задач  
 
Формулы
 
Таблицы
 
Литература
Решим контрольную работу или задачу по высшей математике в короткий срок за разумные деньги. Подробнее.. 

Уравнения с разделяющимися переменными

Пример 1

Найти общий интеграл дифференциального уравнения:

\[e^y \cdot xy'= 1+e^y\]

Решение:

Данное уравнение относится к типу уравнений с разделяющимися переменными. перепишем его в виде

\[e^y \cdot x \, dy=(1+e^y) \, dx\]

и разделим обе части уравнения на  \(x(1+e^y) \neq 0 \). В результате получим

\[ \frac{e^y \, dy}{1+e^y}=\frac {dx}{x}. \]

Почленное интергирование приводит к соотношению

\[ \int {\frac{e^y \, dy}{1+e^y}}=\int {\frac {dx}{x}}+C, \tag{1}\]

которое и является общим интегралом исходного уравнения. Интегралы, стоящие в левой и правой частях соотношения (1) имеют первообразные в классе элементарных функций, а именно

\[\int {\frac{e^y \, dy}{1+e^y}}=\int {\frac {d e^y}{1+e^y}}=ln(1+e^y)+C \quad и \quad \int {\frac {dx}{x}}=ln \, x +C'. \]

Тогда соотношение (1)  принимает вид

\[1+e^y=C'' \cdot x.\]

Это общий интеграл исходного уравнения.

Другие материалы в этой категории: Метод вариации постоянных »
Авторизуйтесь, чтобы получить возможность оставлять комментарии

Форма Входа

М.В.ЛомоносовВеликие люди о математике

Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле." (А.Н.Крылов)

Отзывы

Спасибо! Заказ выполнен вовремя. Решение подробное и понятное. Работа зачтена, я всем довольна.

Елена.

Благодаря Вам сдал контрольную в срок и получил допуск к экзамену. Самому разобраться было некогда. Спасибо, что выручили.

Алексей.

Работа была сделана качественно и не вызвала у преподавателя никаких вопросов. Цена невысокая. Спасибо, буду обращаться ещё.

Карина.

© 2020 Решение задач и контрольных работ по высшей математике и физике в Саратове. Все права защищены.