Пример 1

Найти решение задачи Коши для уравнения

\[y'-y \cdot tg \, x=\frac {x^2}{\cos x},\]

с начальным условием \(y(\pi)=0\).

Решение:

Данное уравнение относится к типу линейных уравнений первого порядка неоднородного вида. Его интегрирование мы будем выполнять методом вариации постоянной.

На первом этапе находим общее решение однородного линейного уравнения

\[y'-y \cdot tg \, x=0.\]

Разделив переменные, получим

 \[\frac {dy}{dx}=y \cdot tg \, x \Rightarrow \frac{dy}{y}=tg \, x \cdot dx \Rightarrow \ln y +C=-\ln \cos x +C' \Rightarrow y=C \cdot  \frac 1 {\cos x} \]

это общее решение однородного линейного уравнения.

 На втором этапе будем искать решения исходного уранения в виде

\[ y=C(x) \cdot  \frac 1 {\cos x},\]

где \(C(x)\)- неизвестная функция. Подставляя в исходное уравнение

\[y=C(x) \cdot  \frac 1 {\cos x} \quad и \quad y'=C'(x) \cdot  \frac 1 {\cos x}+ C(x) \cdot \frac 1 {\cos^2 x} \cdot \sin x,\]

получим

\[\frac{C'(x)}{\cos x}+ \frac {C(x) \cdot \sin x}{\cos^2 x}- \frac {C(x) \cdot tg \, x}{\cos x}= \frac {x^2}{\cos x}\]

 или

\[\frac{C'(x)}{\cos x}= \frac {x^2}{\cos x}.\]

Отсюда

\[C(x)= \int {x^2 dx} +C=\frac{x^3}3+C\]

и общее решение исходного уравнения имеет вид

\[y=\left( \frac {x^3}3+C \right) \cdot \frac 1{\cos x}.\]

Используя начальное условие \(y(\pi)=0,\) получим \(C=-\frac {\pi^3}3.\)

Следовательно, частное решение имеет вид

\[y=\left( \frac{x^3-\pi^3}3 \right) \cdot \frac 1{\cos x}.\]

Это решение и является решением задачи Коши с заданным начальным условием.