Пример 1

Найти общий интеграл уравнения:

\[3x^2 \ln y \, dx+ \left( \frac {x^3}{y}- \sin y \right) \, dy=0\]

Решение:

Обозначим

\[P(x,y)=3x^2 \ln y,\]

\[Q(x,y)=\frac {x^3}{y}- \sin y\]

и вычислим \(\frac {\partial P}{\partial y}=\frac {x^3}{y} \), \(\frac {\partial Q}{\partial x}=\frac {x^3}{y}. \) Так как \(\frac {\partial P}{\partial y}=\frac {\partial Q}{\partial x}\), то данное уравнение относится к типу дифференциальных уравнений в полных дифференциалах. Иначе говоря, существует некоторая функция \(u(x,y)\) такая. что ее дифференциал

\[du=P(x,y)dx+Q(x,y)dy\].

Найдем эту функцию из условий:

\[\frac {\partial u}{\partial x}=P(x,y)=3x^2 \ln y \quad  и \]

\[\frac {\partial u}{\partial y}=Q(x,y)=\frac {x^3}{y}- \sin y.\]

C этой целью проинтегрируем \(\frac {\partial u}{\partial x}\) по \(x\):

\[u(x,y)=\int {3x^2 \ln y \, dx+C(y)}=x^3 \ln y+C(y),\]

где \(C(y)\) найдем путем дифференцирования \(u(x,y)\) по \(y\):

\[\frac {\partial u}{\partial y}= \frac {x^3}{y}+C'(y)\]

Так как \(\frac {\partial u}{\partial y}=Q(x,y)=\frac {x^3}{y}- \sin y\), то для \(C'(y)\) получим уравнение

\[C'(y)=- \sin y,\]

откуда находим

\[C'(y)=\cos y.\]

Таким образом, функция

\[u(x,y)=x^3 \ln y +\cos y.\]

Так как исходное уравнение можно записать в виде \(du=0\), то его общий интеграл определяется равенством \(u(x,y)=C\) или

\[x^3 \ln y +\cos y=C.\]