Пример 1

Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения:

\[y'' \cdot tg \, x=2y'.\]

Это уравнение относится к виду \(y''=f(x,y')\), в котором отсутствует искомая функция \(y=y(x).\)

Сделаем замену \(y'=z(x), \quad y''=z'(x),\) получим линейное уравнение первого порядка относительно \(z(x):\)

\[z' \cdot tg \, x=2z.\]

Это уравнение с разделяющимися переменными

\[ \frac {dz}{dx} \cdot tg \, x=2z \Rightarrow \frac {dz}{2z}=\frac {dx}{tg \, x} \Rightarrow \frac {dz}{2z}=\frac {d (\sin x)}{\sin x} \Rightarrow \frac 12 \cdot \ln x +C_1=\ln \sin x +C_2\]

\[z=C \cdot \sin^2 x\]

Выполняем обратную подстановку - избавляемся от введенной вспомогательной функции \(z\):

\[y'=z(x)=C \cdot \sin^2 x.\]

Интегрируя находим

\[y(x)=z(x)=\frac C2 \cdot  \int (1-\cos 2x)\, dx=C_1x-\frac {C_1}2 \cdot \sin 2x+C_2.\]

Ответ: Общее решение заданного дифференциального уравнения имеет вид:

\[y(x)=C_1x-\frac {C_1}2 \cdot \sin 2x+C_2.\]