Пример 1
Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения:
\[y'' \cdot tg \, x=2y'.\]
Это уравнение относится к виду \(y''=f(x,y')\), в котором отсутствует искомая функция \(y=y(x).\)
Сделаем замену \(y'=z(x), \quad y''=z'(x),\) получим линейное уравнение первого порядка относительно \(z(x):\)
\[z' \cdot tg \, x=2z.\]
Это уравнение с разделяющимися переменными
\[ \frac {dz}{dx} \cdot tg \, x=2z \Rightarrow \frac {dz}{2z}=\frac {dx}{tg \, x} \Rightarrow \frac {dz}{2z}=\frac {d (\sin x)}{\sin x} \Rightarrow \frac 12 \cdot \ln x +C_1=\ln \sin x +C_2\]
\[z=C \cdot \sin^2 x\]
Выполняем обратную подстановку - избавляемся от введенной вспомогательной функции \(z\):
\[y'=z(x)=C \cdot \sin^2 x.\]
Интегрируя находим
\[y(x)=z(x)=\frac C2 \cdot \int (1-\cos 2x)\, dx=C_1x-\frac {C_1}2 \cdot \sin 2x+C_2.\]
Ответ: Общее решение заданного дифференциального уравнения имеет вид:
\[y(x)=C_1x-\frac {C_1}2 \cdot \sin 2x+C_2.\]