Пример 1

Найти решение задачи Коши дифференциального уравнения:

\(y''-3y'+2y=0,\) удовлетворяющее начальным условиям \(y(0)=5, \, y'(0)=1.\)

Решение:

Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Составим характеристическое уравнение \(k^2-3k+2=0.\) Корни уравнения \(k_1=1, k_2=2\) действительны и различны, и общее решение данного уравнения имеет вид \(y=c_1 e^x+c_2 e^{2x}.\) Решим задачу Коши, для этого найдем \(y'\): \(y'=c_1 x+2c_2 e^{2x}.\)

Подставляя начальные условия в \(y(x),\, y'(x),\) получим систему уравнений для определения \(c_1\) и \(c_2\)

\[\begin{cases} c_1e^0+c_2e^0=5 \\ c_1e^0+2c_2e^0=1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} c_1+c_2=5 \\ c_1+2c_2=1 \end{cases}\]

Решая ее, получим \(c_1=9, c_2=-4.\)

Тогда решение задачи Коши имеет вид \(y=9e^x-4e^{2x}.\)

Ответ:  \[y=9e^x-4e^{2x}.\]