Пример 1

Найти общее решение дифференциального уравнения:

\[y''+y=6 \sin 3x.\]

Решение:

Общее решение будем искать в виде \(y=y_0+y_ч,\) где \(y_0\) - общее решение соответствующего однородного уравнения, \(y_ч\) - частное решение неоднородного уравнения.

однородное уравнение имеет вид \(y''+y=0.\) Составим характеристическое уравнение \(k^2+1=0.\) Корни уравнения \(k_1=i, \quad k_2=-i\) мнимые и различны, и общее решение однородного уравнения имеет вид

\[y_0=c_1e^{ix}+c_2e^{-ix},\]

что эквивалентно представлению в тригонометрическом виде

\[y=A \cdot \sin x +B \cdot \cos x.\]

Легко видеть, что частное решение данного уравнения может быть представлено в виде

\[y_ч=C \cdot \sin 3x.\]

Найдем \(y'_ч, y''_ч:\)

\[y'_ч=3 \cdot C \cdot \cos 3x,\]

\[y''_ч=-9 \cdot C \cdot \sin 3x.\]

Подставим \(y'_ч, y''_ч\) в исходное уравнение и определим \(C,\) при котором выражение \[C \cdot \sin 3x\]становится решением неоднородного уравнения.

\[y_ч=- \frac 34 \cdot \sin 3x.\]

Следовательно, общее решение неоднородного уравнения имеет вид

\[y(x)=A \cdot \sin x +B \cdot \cos x- \frac 34 \cdot \sin 3x.\]

Ответ:

\[y(x)=A \cdot \sin x +B \cdot \cos x- \frac 34 \cdot \sin 3x.\]