Хвостам - НЕТ! - Центр помощи студентам

У нас Вы можете заказать решение задач или контрольной работы!

Решение задач и контрольных работ по высшей математике
Онлайн учебник  
 
Примеры решения задач  
 
Формулы
 
Таблицы
 
Литература
Решим контрольную работу или задачу по высшей математике в короткий срок за разумные деньги. Подробнее.. 

Системы дифференциальных уравнений

Пример 1

Найти общее решение системы дифференциальных уравнений:

\[\begin{cases} \frac {dx}{dt}=4x+3y, \\ \frac {dy}{dt}=-3x-6y. \end{cases}\]

Решение:

Это система двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Ее общее решение можно найти с помощью характеристического уравнения.

Составим характеристическое уравнение матрицы системы

\[ \begin{vmatrix} 4-\lambda & 3 \\ -3 & -6-\lambda \end{vmatrix}=0 \]

или \[\lambda^2+2\lambda-15=0,\]

откуда следует, что \(\lambda_1=-5, \quad  \lambda_2=3\) - действительные различные характеристические числа матрицы системы. Найдем собственные векторы, соответствующие каждому характеристическому числу.

При \(\lambda_1=-5\) координаты собственного вектора \((\alpha_1, \alpha_2)\) определяются из системы уравнений

\[\begin{cases} 9 \alpha_1+3 \alpha_2=0, \\ -3 \alpha_1-\alpha_2=0, \end{cases} \Rightarrow 3\alpha_1=-\alpha_2.\]

Выбираем \[\alpha_1=1, \alpha_2=-3.\]

При \(\lambda_2=3\) получим

\[\begin{cases}  \alpha_1+3 \alpha_2=0, \\ -3 \alpha_1-9\alpha_2=0, \end{cases} \Rightarrow \alpha_1=-3\alpha_2.\]

Выбираем \[\alpha_1=-3, \alpha_2=1.\]

Строим фундаментальную систему решений: для \(\lambda_1=-5\)

\[x_1=e^{-5t}, \quad y_1=-3 e^{-5t};\]

Аналогично, для \(\lambda_2=3\)

\[x_2=-3e^{3t}, \quad y_1=e^{3t}.\]

Общее решение системы имеет вид

\[\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} c_1x_1 & c_2x_2 \\ c_1y_1 & c_2y_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} c_1e^{-5t} & c_2 (-3 \cdot e^{3t})\\ c_1(-3 \cdot e^{-5t}) & c_2e^{3t} \end{pmatrix}.\]

\[x=c_1x_1+c_2x_2=c_1e^{-5t}-3c_2 e^{3t},\]

\[y=c_1y_1+c_2y_2=-3c_1e^{-5t}+c_2 e^{3t}.\]

Значительно проще исходную систему можно решить путем исключения одного из неизвестных и сведением системы к дифференциальному уравнению второго порядка относительно оставшегося неизвестного.

Продифференцируем по \(t\) первое уравнение:

\[\frac {d^2x}{dt^2}=4\frac {dx}{dt}+3 \frac {dy}{dt}.\]

Подставим \(\frac {dy}{dt}\) из второго уравнения:

\[\frac {d^2x}{dt^2}=4\frac {dx}{dt}+3(-3x-6y), \tag{1}\]

 а затем из первого уравнения выразим \(y\):

\[y=\frac 13 \frac {dx}{dt}-\frac 43 x \tag{2}\]

 и подставим (2) в уравнение (1). В результате преобразований получим

\(\frac {d^2x}{dt^2}+2\frac {dx}{dt}-15x=0\) - уравнение второго порядка относительно неизвестной функции \(x(t).\)

Составим характеристическое уравнение

\[\lambda^2+2\lambda-15=0 \Rightarrow \lambda_1=-5, \quad \lambda_2=3.\]

Тогда общее решение этого уравнения имеет вид

\[x(t)=c_1 e^{-5t}+c_2 e^{3t}.\]

Из уравнения (2) находим \(y(t)\)

\[y(t)=\frac 13 (-5c_1 e^{-5t}+3c_2 e^{3t})-\frac 43 (c_1 e^{-5t}+c_2 e^{3t})=-3c_1 e^{-5t}-\frac 13 c_2 e^{3t}.\]

Очевидно, что получено то же решение, которое отличается только записью произвольных констант.

Другие материалы в этой категории: « Неоднородные уравнения 2-го порядка
Авторизуйтесь, чтобы получить возможность оставлять комментарии

Форма Входа

М.В.ЛомоносовВеликие люди о математике

Предмет математики столь серьезен, что не следует упускать ни одной возможности сделать его более занимательным." (Б.Паскаль)

Отзывы

Спасибо! Заказ выполнен вовремя. Решение подробное и понятное. Работа зачтена, я всем довольна.

Елена.

Благодаря Вам сдал контрольную в срок и получил допуск к экзамену. Самому разобраться было некогда. Спасибо, что выручили.

Алексей.

Работа была сделана качественно и не вызвала у преподавателя никаких вопросов. Цена невысокая. Спасибо, буду обращаться ещё.

Карина.

© 2020 Решение задач и контрольных работ по высшей математике и физике в Саратове. Все права защищены.