Пример

Доказать совместность системы линейных уравнений и решить ее 2 способами:

1) Методом Гаусса;

2) По формулам Крамера.

\[\begin{cases} 3x_1+2x_2+x_3=5; \\ 2x_1+3x_2+x_3=1; \\ 2x_1+x_2+3x_3=1. \end{cases}\]

Решение:

По теореме Кронеккера-Капелли система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг ее основной матрицы равен рангу ее расширенной матрицы.

Найдем определитель основной матрицы, раскрыв его по третьему столбцу:

\[det \begin{vmatrix} 3 & 2& 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}+3 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 3 \end{vmatrix}=2-6-(3-4)+3 \cdot (9-4)=-18 \neq 0.\]

Следовательно, ранг основной матрицы равен 3:

\[rang \begin{vmatrix} 3 & 2& 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix}=3.\]

Найдем определитель матрицы, входящей в расширенную марицу системы, раскрыв его по третьему столбцу:

\[det \begin{vmatrix} 2 & 1& 5 \\ 3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \end{vmatrix}=5 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}=5\cdot (9-1)-(6-1)+2-3=34 \neq 0.\]

Следовательно, ранг расширенной матрицы равен 3:

\[rang \begin{vmatrix} 3 & 2& 1 & 5\\ 2 & 3 & 1 & 1\\ 2 & 1 & 3 & 1\end{vmatrix}=3.\]

Следовательно, система линейных уравнений совместна. Ч. т . д.

1) Решим систему методом Гаусса:

\[\begin{cases} 3x_1+2x_2+x_3=5; \\ 2x_1+3x_2+x_3=1; \\ 2x_1+x_2+3x_3=1. \end{cases}\]

Обнулим коэффициенты при \(x_1\) во 2-й и 3-й строках. Для этого вычтем из них первую строку, умноженную на \(\frac 23\).

\[\begin{cases} 3x_1+2x_2+x_3=5; \\ 2x_1+3x_2+x_3-\frac 23 \cdot 3x_1-\frac 23 \cdot 2x_2-\frac 23 x_3=1-5 \cdot \frac 23; \\ 2x_1+x_2+3x_3--\frac 23 \cdot 3x_1-\frac 23 \cdot 2x_2-\frac 23 x_3=1-5 \cdot \frac 23; \end{cases} \Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow \begin{cases} 3x_1+2x_2+x_3=5; \\ \frac 53 x_2+\frac 13 x_3=-\frac 73; \\ -\frac 13 x_2+\frac 73 x_3=-\frac 73; \end{cases} \Leftrightarrow\]

 \[\Leftrightarrow \begin{cases} 3x_1+2x_2+x_3=5; \\ 5x_2+ x_3=-7; \\ -x_2+7x_3=-7; \end{cases}\]

Теперь обнулим коэффициенты при \(x_2\) в третьей строке, прибавив к ней вторую строку, умноженную на \(\frac 15\):

\[\begin{cases} 3x_1+2x_2+x_3=5; \\ 5x_2+ x_3=-7; \\ -x_2+7x_3+5 \cdot \frac 15 x_2+\frac 15 x_3=-7-\frac 75; \end{cases} \Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow \begin{cases} 3x_1+2x_2+x_3=5; \\ 5x_2+ x_3=-7; \\ \frac {36}5x_3=-\frac {42}5; \end{cases} \Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow \begin{cases} 3x_1+2x_2+x_3=5; \\ 5x_2+ x_3=-7; \\ x_3=-\frac {7}6; \end{cases} \Leftrightarrow\]

Теперь начинаем обратный ход метода Гаусса. Подставляем \(x_3\) во 2-е уравнение системы:

\[\Leftrightarrow \begin{cases} 3x_1+2x_2+x_3=5; \\ 5x_2+ -\frac {7}6=-7; \\ x_3=-\frac {7}6; \end{cases} \Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow \begin{cases} 3x_1+2x_2+x_3=5; \\ 5x_2=-\frac {35}6; \\ x_3=-\frac {7}6; \end{cases} \Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow \begin{cases} 3x_1+2x_2+x_3=5; \\ x_2=-\frac {7}6; \\ x_3=-\frac {7}6; \end{cases} \]

Подставляем \(x_2, x_3\) в 1-е уравнение системы:

\[\Leftrightarrow \begin{cases} 3x_1+2 \cdot \left( -\frac 76 \right)-\frac 76=5; \\ x_2=-\frac {7}6; \\ x_3=-\frac {7}6; \end{cases} \Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow \begin{cases} x_1=\frac {17}6; \\ x_2=-\frac {7}6; \\ x_3=-\frac {7}6. \end{cases}\]

2) Решим систему по формулам Крамера.

Для этого найдем определитель системы, раскрыв его по третьему столбцу:

\[ \Delta= \begin{vmatrix} 3 & 2 &1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 2 &1 &3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}  2 & 3 \\ 2 &1  \end{vmatrix} -\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 2 &1 \end{vmatrix}+3 \cdot \begin{vmatrix}  3 & 2 \\ 2 &3  \end{vmatrix}=2-6-(3-4)+3(9-4)=12.\]

Заменим первый столбец основной матрицы системы столбцом свободных членов и найдем \(\Delta_1\), раскрыв его по первому столбцу:

\[ \Delta_1= \begin{vmatrix} 5 & 2 &1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 &1 &3 \end{vmatrix} = 5 \cdot \begin{vmatrix}  3 & 1 \\ 1 &3  \end{vmatrix} -\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 &3 \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}  2 & 1 \\ 3 &1  \end{vmatrix}=5(9-1)-(6-1)+2-3=34.\]

 Заменим второй столбец основной матрицы системы столбцом свободных членов и найдем \(\Delta_2\), раскрыв его по третьему столбцу:

 \[ \Delta_2= \begin{vmatrix} 3 & 5 &1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 2 &1 &3 \end{vmatrix} =  \begin{vmatrix}  2 & 1 \\ 2 &1  \end{vmatrix} -\begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 2 &1 \end{vmatrix}+ 3\cdot \begin{vmatrix}  3 & 5 \\ 2 &1 \end{vmatrix}=2-2 -(3-10)+3(3-10).\]

Заменим третий столбец основной матрицы системы столбцом свободных членов и найдем \(\Delta_3\), раскрыв его по третьему столбцу:

\[ \Delta_3= \begin{vmatrix} 3 & 2 &5 \\ 2 & 3 & 1 \\ 2 &1 &1 \end{vmatrix} = 5 \cdot \begin{vmatrix}  2 & 3 \\ 2 &1  \end{vmatrix} -\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 2 &1 \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}  3 & 2 \\ 2 &3  \end{vmatrix}=5(2-6)-(3-4)+9-4=-14.\]

Теперь по формулам Крамера найдем неизвестные системы:

\[x_1=\frac{\Delta_1}{\Delta}=\frac {34}{12}=\frac {17}6;\]

\[x_2=\frac{\Delta_2}{\Delta}=\frac {-14}{12}=-\frac {7}6;\]

\[x_3=\frac{\Delta_1}{\Delta}=\frac {-14}{12}=-\frac {7}6.\]

Полученные в пунктах 1 и 2 результаты согласуются между собой, что говорит о верном решении.

Ответ:

\[x_1=\frac {17}6;\]

\[x_2=-\frac {7}6;\]

\[x_3=-\frac {7}6.\]