Пример

Даны два линейных преобразования:

\[\begin{cases} x'_1=a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3;\\  x'_2=a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3;\\ x'_3=a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3; \end {cases}\]

\[\begin{cases} x''_1=b_{11}x'_1+b_{12}x'_2+b_{13}x'_3;\\  x''_2=b_{21}x'_1+b_{22}x'_2+b_{23}x'_3;\\ x''_3=b_{31}x'_1+b_{32}x'_2+b_{33}x'_3; \end {cases}\]

Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее \(x''_1, x''_2, x''_3\) через \(x_1, x_2, x_3\).

\[\begin{cases} x'_1=4x_1+3x_2+5x_3;\\  x'_2=6x_1+7x_2+x_3;\\ x'_3=9x_1+x_2+8x_3; \end {cases}\]

\[\begin{cases} x''_1=-x'_1+3x'_2-2x'_3;\\  x''_2=-4x'_1+x'_2+2x'_3;\\ x''_3=3x'_1-4x'_2+5x'_3; \end {cases}\]

Решение:

Введем столбцы:

\[X=\begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix};\quad X'=\begin{pmatrix} x'_1\\ x'_2\\ x'_3 \end{pmatrix}\];

и матрицы:

\[A=\begin{pmatrix} 4 & 3 & 5 \\ 6 & 7 & 1\\ 9 & 1 & 8 \end{pmatrix}; \quad B=\begin{pmatrix} -1 & 3 & -2 \\ -4& 1 & 2 \\ 3 & -4 & 5 \end{pmatrix}\];

тогда условие задачи запишется в матричной форме:

\[X'=A \cdot X; \quad X''=B \cdot X';\]

Подставляя первое выражение во второе, получим:

\[X''=B\cdot A \cdot X';\]

Подставляя в это выражение матрицы \(A\) и \(B\), получим:

\[X''=\begin{pmatrix} -1 & 3 & -2 \\ -4& 1 & 2 \\ 3 & -4 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 3 & 5 \\ 6 & 7 & 1\\ 9 & 1 & 8 \end{pmatrix} X;\]

По правилу умножения матриц получим:

\[X''=\begin{pmatrix} -4 & 16 & -18 \\ 8 & -3 & -3 \\ 33 & -14 & 51 \end{pmatrix};\]

Следовательно,

\[\begin{cases} x''_1=-4x_1+16x_2-18x_3;\\  x''_2=8x_1-3x_2-3x_3;\\ x''_3=33x_1-14x_2+51x_3. \end {cases}\]

Ответ:

\[\begin{cases} x''_1=-4x_1+16x_2-18x_3;\\  x''_2=8x_1-3x_2-3x_3;\\ x''_3=33x_1-14x_2+51x_3. \end {cases}\]