Пример 1

Вычислить предел:

\(\require{cancel}\)

\[ \lim\limits_{x\to+\infty}(\sqrt{x^2+4x}-x)\]

Решение:

Воспользуемся основным свойством дроби:

\[ \lim\limits_{x\to+\infty}(\sqrt{x^2+4x}-x)=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{(\sqrt{x^2+4x}+x)(\sqrt{x^2+4x}-x)}{\sqrt{x^2+4x}+x}=\]

Воспользуемся формулой разности квадратов:

\[=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{((\sqrt{x^2+4x})^2-x^2)}{\sqrt{x^2+4x}+x}=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\cancel{x^2}+4x-\cancel{x^2}}{\sqrt{x^2+4x}+x}=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{4x}{\sqrt{x^2+4x}+x}=\]

Воспользуемся основным свойством дроби:

\[=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\frac{4x}{x}}{\frac{\sqrt{x^2+4x}+x}{x}}=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{4}{\frac{\sqrt{x^2+4x}}{x}+1}=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{4}{\sqrt{\frac{x^2}{x^2}+\frac{4x}{x^2}}+1}=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{4}{\sqrt{1+\cancelto{0}{\frac{4}{x}}}+1}=\frac4{\sqrt{1+0}+1}=\\ =\frac{4}{1+1}=2.\]