Пример 1

Бросают 4 монеты. найти вероятность, что на трех монетах выпадет орел, а на одной - решка.

1 способ:

Общее число элементарных исходов испытания - это количество размещений с повторениями из 4 по 2. \(A_2^4=2^4=16\).

Событию "решка только на одной монете" благоприятствуют четыре исхода.

Итак, по классическому определению вероятности, \(P=\frac4{16}=0.25\).

В нашем случае вероятность выпадения решки при одиночном испытании \(p=0.5\), вероятность выпадения герба при одиночном испытании \(q=1-p=1-0.5=0.5\). Число всех испытаний \(n=4\), событие "решка только на одной монете" встрчается ровно \(k=1\) раз,

Воспользуемся формулой Бернулли \(P={C_n}^k p^k (1-p)^{n-k}\).

Имеем \(P={C_4}^1\cdot 0.5^1\cdot0.5^3=\frac{4!}{1!\cdot3!}\cdot0.5^4=4\cdot \frac1{2^4}=\frac14=0.25\).

Пример 2

В урне 2 черных и 3 белых шара. Случайным образом вынимают 2 шара. Найти вероятность того, что:

а) все вынутые шары окажутся одного цвета;

б) среди вынутых шаров окажется хотя бы один белый.

a) По теореме умножения вероятностей вероятность вынуть два черных шара:

\(P(ЧЧ)=\frac25\cdot\frac14=0.1\).

Вероятность вынуть два белых шара:

\(P(ББ)=\frac35\cdot\frac24=0.3\).

 По теореме сложения вероятностей вероятность вынуть два шара одного цвета равна:

\(P_1=P(ЧЧ)+P(ББ)=0.1+0.3=0.4\).

б) Когда вынимают хотя бы один белый шар, возможны варианты ББ и БЧ.

По теореме умножения вероятностей:

\(P(БЧ)=\frac35\cdot\frac24=0.3\),

\(P(ББ)=0.3\) (получено ранее).

 По теореме сложения вероятностей вероятность вынуть хотя бы один белый шар:

\(P_2=P(БЧ)+P(ББ)=0.3+0.3=0.6.\)

Пример 3

Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0.6. Какова вероятность того, что цель будет поражена при трех выстрелах? Сколько нужно сделать выстрелов, чтобы вероятность поражения цели была не меньше 0.99?

Вероятность поразить цель с первого выстрела \(P_1=0.6\).

Вероятность поразить цель сo второго выстрела \(P_2=0.6 \cdot 0.4 \) (по теореме умножения вероятностей).

Вероятность поразить цель с третьего выстрела \(P_3=0.6 \cdot {0.4}^2\).

По формуле полной вероятности вероятностей вероятность поразить цель при трех выстрелах \(P^3=P_1+P_2+P_3=0.6+0.6 \cdot 0.4+0.6 \cdot {0.4}^2=0.6+0.24+0.096=0.936\).

Аналогично, вероятность поражения цели при четырех выстрелах \(P^4=0.6+0.6 \cdot 0.4+0.6 \cdot {0.4}^2+0.6 \cdot {0.4}^3=0.6+0.24+0.096+0.0384=0.9744<0.99\). Слодовательно, продолжаем исследовать дальше.

Вероятность поражения цели при пяти выстрелах \(P^5=0.6+0.6 \cdot 0.4+0.6 \cdot {0.4}^2+0.6 \cdot {0.4}^3+0.6 \cdot {0.4}^4=0.6+0.24+0.096+0.0384+0.1536= \\ =0.98976<0.99\). Слодовательно, исследуем задачу дальше.

Вероятность поражения цели при шести выстрелах \(P^6=0.6+0.6 \cdot 0.4+0.6 \cdot {0.4}^2+0.6 \cdot {0.4}^3+0.6 \cdot {0.4}^4+0.6 \cdot {0.4}^5= \\ =0.995904>0.99\).Следовательно, нужно сделать шесть выстрелов.