Хвостам - НЕТ! - Центр помощи студентам

У нас Вы можете заказать решение задач или контрольной работы!

Решение задач и контрольных работ по высшей математике
Онлайн учебник  
 
Примеры решения задач  
 
Формулы
 
Таблицы
 
Литература
Решим контрольную работу или задачу по высшей математике в короткий срок за разумные деньги. Подробнее.. 

Уравнения поверхности и линии в пространстве

Уравнением поверхности в пространстве \(Oxyz\) называется такое уравнение, которому удовлетворяют координаты всех точек, лежащих на этой поверхности, и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на этой поверхности.

То есть, если

\[F(x,y,z)=0 \tag {1}\]

- уравнение поверхности \(P\), то при \(M(x,y,z) \in P\) имеем \(F(x,y,z)=0\), а при \(N(x,y,z) \notin P\) имеем \(F(x,y,z) \neq 0\).

Таким образом, уравнение (1) выполнено тогда и только тогда, когда точка \(M(x,y,z)\) принадлежит данной поверхности. Координаты произвольной точки поверхности называются текущими координатами точки. Поэтому составить уравнение поверхности - это значит найти связь между текущими координатами ее точек.

равные \(a,\ b, \ c\).

Пример 1

Уравнения координатных плоскостей.

Каждая точка \(M(x,y,z)\), лежащая на координатной плоскости \(Oyz\), имеет абсциссу \(x=0\). Верно и обратное: если абсцисса точки равна \(x=0\), то эта точка расположена на плоскости \(Oyz\). Следовательно,

\[x=0\]

- уравнение координатной плоскости \(Oyz\).

Аналогично,

\[y=0\]

- уравнение координатной плоскости \(Oxz\).

\[z=0\]

- уравнение координатной плоскости \(Oxy\).

В более общем случае

\[x=a, \quad y=b, \quad z=c\]

- уравнения трех плоскостей, перпендикулярных соответсвенно координатным осям \(Ox, \ Oy, \ Oz\) и отсекающих на них отрезки,

Уравнение цилиндрической поверхности, образующие которой параллельны координатной оси, не содержат текущей координаты, одноименной с этой координатной осью.

Докзательство: Пусть цилиндрическая поверхность \(P\) образована перемещением прямой \(MN||Oz\) (образующая) вдоль заданной линии \(L\), лежащей в плоскости \(Oxy\) (направляющая).

Обозначим через \(M(x,y,z)\) точку поверхности \(P\) с текущими координатами \(x,y,z\). Образующая \(MN\), проходящая через точку \(M\), пересекает направляющую в точке \(N(x,y,0)\).

Пусть

\[F(x,y)=0 \tag{2}\]

- уравнение направляющей \(L\) в координатной плоскости \(Oxy\). Этому уравнению удовлетворяют координаты точки \(N\). Так как точка \(M\) имеет те же абсциссу и ординату, что и точка \(N\), а переменная \(z\) в уравнение (3) не входит, то координаты точки \(M\) тоже удовлетворяют уравнению (3). Таким образом, координаты любой точки \(M(x,y,z)\) поверхности \(P\) удовлетворяют уравнению (3). Следовательно,

\[F(x,y)=0\]

является уравнением цилиндрической поверхности в пространстве \(Oxyz\), причем в этом уравнении отсутствует координата \(z\).

Пример 2

Уравнение эллиптического цилиндра.

Уравнение эллиптического цилиндра, в основании которого лежит эллипс с полуосями \(a,\ b\) и осью \(Oz\) имеет уравнение

\[\frac {x^2}{a^2}+\frac {y^2}{b^2}=1.\]

Если \(a=b\), то получаем уравнение кругового цилиндра

\[x^2+y^2=a^2.\]

Линию \(L\) в пространстве можно задать как пересечение двух поверхностей \(P_1\) и \(P_2\). Точка, лежащая на линии \(L\), принадлежит как поверхности \(P_1\), так и поверхности \(P_2\), следовательно, координаты этой точки удовлетворяют уравнениям обеих поверхностей.

Поэтому уравнение линии в пространстве задается совокупностью двух уравнений:

\[\begin {cases} F_1(x,y,z)=0, \\ F_2(x,y,z)=0, \\ \end{cases} \tag{3}\]

Уравнениями линии в пространстве \(Oxyz\) называется такая пара уравнений, которой удовлетворяют координаты всех точек, лежащих на этой линии, и не удовлетворяют координаты любых точек, не лежащих на этой линии.

Пример 3

 Уравнения координатных осей.

Ось \(Ox\) можно рассматривать как пересечение координатных плоскостей \(Oxy\) и \(Oxz\). Поэтому

\[\begin {cases} y=0, \\ z=0, \\ \end{cases}\]

- уравнения оси \(Ox\).

Аналогично,

\[\begin {cases} x=0, \\ z=0, \\ \end{cases}\]

- уравнения оси \(Oy\).

\[\begin {cases} x=0, \\ y=0, \\ \end{cases}\]

- уравнения оси \(Oz\).

Авторизуйтесь, чтобы получить возможность оставлять комментарии

Форма Входа

М.В.ЛомоносовВеликие люди о математике

Вдохновение нужно в геометрии не меньше, чем в поэзии." (А.С.Пушкин)

Отзывы

Спасибо! Заказ выполнен вовремя. Решение подробное и понятное. Работа зачтена, я всем довольна.

Елена.

Благодаря Вам сдал контрольную в срок и получил допуск к экзамену. Самому разобраться было некогда. Спасибо, что выручили.

Алексей.

Работа была сделана качественно и не вызвала у преподавателя никаких вопросов. Цена невысокая. Спасибо, буду обращаться ещё.

Карина.

© 2020 Решение задач и контрольных работ по высшей математике и физике в Саратове. Все права защищены.