Хвостам - НЕТ! - Центр помощи студентам

У нас Вы можете заказать решение задач или контрольной работы!

Решение задач и контрольных работ по высшей математике
Онлайн учебник  
 
Примеры решения задач  
 
Формулы
 
Таблицы
 
Литература
Решим контрольную работу или задачу по высшей математике в короткий срок за разумные деньги. Подробнее.. 

Определители второго порядка

Под определителем (детерминантом) второго порядка понимается выражение

\[ \begin{vmatrix}
a_1 & b_1  \\
a_2 & b_2  \\
\end{vmatrix}=a_1 b_2-a_2 b_1\tag{1}\ \]

Числа \(a_1,b_1,a_2,b_2\) называются элементами определителя. Они расположены в двух строках и в двух столбцах, называемых рядами определителя.

Формула (1) дает правило развертывания определителя второго порядка, а именно: определитель второго порядка равен разности произведений его элементов первой и второй диагоналей.

С помощью определителей второго порядка удобно решать линейные системы двух уравнений с двумя неизвестными:

\[ \begin{cases}
a_1x+b_1y+=с_1, \\
a_2x+b_2y+=с_2 .
\end{cases}\tag{2}\ \]

Такую линейную систему, в которой свободные члены находятся в правых частях, для определенности мы будем называть стандартной.

Под решением системы (2) понимается всякая пара чисел \((x,y)\), обращающая эту систему в тождество. Если существует только одна такая пара, то решение называется единственным. Аналогично вводится понятие решения для системы, содержащей \(n\) неизвестных \((n=1,2,3,...)\).

Для нахождения решений системы (2) применим метод исключения. Умножая первое уравнение системы (2) на \(b_2\), а второе -на  \(b_1\) и складывая, будем иметь

\[(a_1b_2-a_2b_1)x=c_1b_2-c_2b_1.\tag{3}\]

Аналогично, умножая первое уравнение системы (2) на \(-a_2\) а, второе - на \(a_1\) и складывая, получим

\[(a_1b_2-a_2b_1)y=a_1c_2-a_2c_1.\tag{4}\]

Введем определитель системы

\[D=\begin{vmatrix}
a_1 & b_1  \\
a_2 & b_2
\end{vmatrix}, \]

a также дополнительные определители

\(D_x=\begin{vmatrix}
c_1 & b_1  \\
c_2 & b_2
\end{vmatrix},\)     \(D_y=\begin{vmatrix}
a_1 & c_1  \\
a_2 & c_2
\end{vmatrix}. \)

Заметим, что дополнительные определители \(D_x\) и \(D_y\) получаются из определителя системы \(D\) путем замены коэффициентов при указанном неизвестном на соответствующие свободные члены.

Уравнения (3) и (4) принимают вид

\[Dx=D_x, Dy=D_y.\tag{5}\]

Если \(D\neq0\), то отсюда получаем, что система (2) имеет единственное решение

\[x={D_x \over D}, y={D_y \over D}\tag{6}\]

(формулы Крамера). То, что система чисел (6) является решением системы (2), можно проверить подстановкой в систему (2).

Замечание. Если определитель \(D=0\), то система (2) или не имеет решений (т. е. несовместна) или имеет бесконечно много решений (т. е. система неопределенная).

Пример

Решить систему

\[ \begin{cases}
7x-6y=5, \\
8x-7y=-10 .
\end{cases}\tag{7}\ \]

Имеем

\[D=\begin{vmatrix}
7 & -6  \\
8 & -7
\end{vmatrix}=-49+48=-1, \]

\[D_x=\begin{vmatrix}
 5 & -6  \\
-10 & -7
\end{vmatrix}=-35-60=-95, \]

\[D_y=\begin{vmatrix}
7 & 5  \\
8 & -10
\end{vmatrix}=-70-40=-110. \]

Отсюда на основании формул Крамера (6) получаем

\[ x= \frac{D_x}{D}=\frac{-95}{-1}=95, \]

\[ y= \frac{D_y}{D}=\frac{-110}{-1}=110. \]

Геометрически решение (95; 110) представляет собой точку пересечения прямых (7).

Другие материалы в этой категории: Определители третьего порядка »
Авторизуйтесь, чтобы получить возможность оставлять комментарии

Форма Входа

М.В.ЛомоносовВеликие люди о математике

В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии." (Н.Е.Жуковский)

Отзывы

Спасибо! Заказ выполнен вовремя. Решение подробное и понятное. Работа зачтена, я всем довольна.

Елена.

Благодаря Вам сдал контрольную в срок и получил допуск к экзамену. Самому разобраться было некогда. Спасибо, что выручили.

Алексей.

Работа была сделана качественно и не вызвала у преподавателя никаких вопросов. Цена невысокая. Спасибо, буду обращаться ещё.

Карина.

© 2020 Решение задач и контрольных работ по высшей математике и физике в Саратове. Все права защищены.