Хвостам - НЕТ! - Центр помощи студентам

У нас Вы можете заказать решение задач или контрольной работы!

Решение задач и контрольных работ по высшей математике
Онлайн учебник  
 
Примеры решения задач  
 
Формулы
 
Таблицы
 
Литература
Решим контрольную работу или задачу по высшей математике в короткий срок за разумные деньги. Подробнее.. 

Определители третьего порядка

Под определителем (детерминантом) третьего порядка понимается выражение

\[ D=\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \\ \end{vmatrix}=a_1 \begin{vmatrix}  b_2 & c_2 \\  b_3 & c_3 \\ \end{vmatrix}-b_1 \begin{vmatrix}  a_2  & c_2 \\ a_3 & c_3 \\ \end{vmatrix}+c_1 \begin{vmatrix} a_2 & b_2 \\ a_3 & b_3 \\ \end{vmatrix}. \tag{1} \]

Числа \(a_i, b_i, c_i (i=1, 2, 3)\) называются элементами определителя. Они расположены в трех строках и трех столбцах его (ряды определителя).

Раскрывая определители второго порядка (миноры) в формуле (1) и собирая члены с одинаковыми знаками, получим, что определитель третьего порядка представляет собой знакопеременную сумму шести слагаемых:

\[ D=a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2-a_1b_3c_2-a_2b_1c_3-a_3b_2c_1, \tag{2} \]

 из которых три берутся со знаком плюс, а три - со знаком минус.

Пример

Вычислить

\[ D=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \\ \end{vmatrix}. \tag{3}\]

Используя формулу (1), имеем

\[ D=1\cdot \begin{vmatrix}  3 & 4 \\ 4 & 5 \\ \end{vmatrix}-2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 5 \\ \end{vmatrix}+3 \cdot \begin{vmatrix}  2 & 3  \\ 3 & 4 \\ \end{vmatrix}=1 \cdot (-1)-2 \cdot (-2)+3 \cdot (-1)=0. \]

Под минором элемента определителя третьего порядка понимается определитель младшего (второго) порядка, получающийся из данного определителя в результате вычеркивания строки и столбца, содержащих данный элемент.

Например, для определителя (3) минором его элемента 2, стоящего во второй строке и первом столбце, является определитель

\[ M=\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \\ \end{vmatrix}=-2. \]

В дальнейшем будем говорить, что элемент определителя третьего порядка занимает четное место, если сумма номеров его строки и его столбца есть число четное. Элемент занимает нечетное место, если эта сумма есть число нечетное.

Алгебраическим дополнением (минором со знаком) элемента определителя третьего порядка называется минор этого порядка, взятый со знаком плюс, если элемент занимает четное место, и со знаком минус, если его место нечетное.

Таким образом, если \(М\) есть минор элемента определителя, а \(i\) и \(j\) - соответственно номер строки и номер столбца, на пересечении которых находится данный элемент, то его алгебраическое дополнение есть

\[ A=(-1)^{i+j} M. \]

Например, для элемента \(c_2\) определителя (1), находящегося во второй строке и третьем столбце, его алгебраическое дополнение есть

\[  C_2=(-1)^{2+3} \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_3 & b_3 \\ \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_3 & b_3 \\ \end{vmatrix}. \]

 Соответствующие знаки, приписываемые при этом минорам, можно задать таблицей

\[ +  -  + \\ - + - \\ +  -  + \]

В дальнейшем алгебраические дополнения элемента будем обозначать большими буквами.

Теорема разложения. Определитель третьего порядка равен сумме парных произведений элементов какого-либо ряда его на их алгебраические дополнения (под рядом понимается строка или столбец).

Например, для определителя (1) справедливы разложения:

Разложение по первой строке:

\[ D=a_1A_1+b_1B_1+c_1C_1, \tag{4} \]

Разложение по первому столбцу:

\[ D=a_1A_1+a_2A_2+a_3A_3. \tag{5} \]

С помощью формул (4) или (5), можно по индукции ввести определители высших порядков.

 

Другие материалы в этой категории: « Определители второго порядка Формулы Крамера »
Авторизуйтесь, чтобы получить возможность оставлять комментарии

Форма Входа

М.В.ЛомоносовВеликие люди о математике

Чтобы переварить знания, надо поглощать их с аппетитом." (А.Франц)

Отзывы

Спасибо! Заказ выполнен вовремя. Решение подробное и понятное. Работа зачтена, я всем довольна.

Елена.

Благодаря Вам сдал контрольную в срок и получил допуск к экзамену. Самому разобраться было некогда. Спасибо, что выручили.

Алексей.

Работа была сделана качественно и не вызвала у преподавателя никаких вопросов. Цена невысокая. Спасибо, буду обращаться ещё.

Карина.

© 2020 Решение задач и контрольных работ по высшей математике и физике в Саратове. Все права защищены.