Решим контрольную работу или задачу по высшей математике в короткий срок за разумные деньги. 
Рассмотрим стандартную линейную систему трех уравнений
\[ \begin{cases} a_1x+b_1y+c_1z=d_1,\\ a_2x+b_2y+c_2z=d_2,\\ a_3x+b_3y+c_3z=d_3, \end{cases} \tag{1} \]
свободные члены которых находятся в правых частях. Под решением системы понимается всякая тройка чисел \((x,y,z)\), удовлетворяющая этой системе.
Введем определитель системы
\[ D=\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}, \tag{2}\]
а также дополнительные определители
\( D_x=\begin{vmatrix} d_1 & b_1 & c_1 \\ d_2 & b_2 & c_2 \\ d_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}, D_y=\begin{vmatrix} a_1 & d_1 & c_1 \\ a_2 & d_2 & c_2 \\ a_3 & d_3 & c_3 \end{vmatrix}, D_z=\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & d_3 \end{vmatrix}. \tag{3} \)
последовательно умножая уравнения системы (1) на алгебраические дополнения \(A_1,A_2,A_3\) соответствующих элементов \( a_1,a_2,a_3\) первого столбца определителя \(D\), получим
\[ (a_1A_1+a_2A_2+a_3A_3)x+(b_1A_1+b_2A_2+b_3A_3)y+(c_1A_1+c_2A_2+c_3A_3)z=d_1A_1+d_2A_2+d_3A_3. \tag{4} \]
Отсюда применяя теорему разложения, будем иметь
\[ Dx+0 \cdot y+0 \cdot z=D_x, \]
то есть
\[ Dx=D_x. \tag{5} \]
Используя алгебраические дополнения элементов второго и третьего столбцов определителя \(D\), аналогично находим
\[ Dy=D_y, Dz=D_z. \tag{5'} \]
Если определитель системы \(D \neq 0\), то из уравнений (5) и (5') получаем единственное решение системы (1):
\( x=\frac{D_x}{D}, y=\frac{D_y}{D}, z=\frac{D_z}{D}. \tag{6} \)
Полученные формулы (6) называются формулами Крамера.
Правило Крамера гласит: неизвестные стандартной линейной системы (1) с ненулевым определителем представляют собой дроби, знаменатель которых есть определитель системы, а числители равны соответствующим дополнительным определителям.
Заметим, что если определитель системы \(D=0\), то система или несовместна или имеет бесконечно много решений.
Пример
Решить систему
\[ \left\{ \begin{aligned} x+2y+3z=1,\\ 2x+3y+z=0,\\ 3x+y+2z=0. \end{aligned} \right. \]
Имеем
\[ D=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix}. \]
Вычитая из второго столбца удвоенный первый столбец, а из третьего столбца утроенный первый столбец, получим
\[ D=\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & -5 \\ 3 & -5 & -7 \end{vmatrix}=1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & -5 \\ -5 & -7 \end{vmatrix}=7-25=-18\neq0. \]
Для дополнительных определителей находим следующие значения:
\[ D_x=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix}=1 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}=5, \]
\[ D_y=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \\ 3 & 0 & 2 \end{vmatrix}=-1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}=-1, \]
\[ D_z=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \end{vmatrix}=1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}=-7. \]
Великие люди о математике
E-mail
Skype
Телефон
