Хвостам - НЕТ! - Центр помощи студентам

У нас Вы можете заказать решение задач или контрольной работы!

Решение задач и контрольных работ по высшей математике
Онлайн учебник  
 
Примеры решения задач  
 
Формулы
 
Таблицы
 
Литература
Решим контрольную работу или задачу по высшей математике в короткий срок за разумные деньги. Подробнее.. 

Формулы Крамера

Рассмотрим стандартную линейную систему трех уравнений

\[ \begin{cases} a_1x+b_1y+c_1z=d_1,\\ a_2x+b_2y+c_2z=d_2,\\ a_3x+b_3y+c_3z=d_3, \end{cases} \tag{1} \]

свободные члены которых находятся в правых частях. Под решением системы понимается всякая тройка чисел \((x,y,z)\), удовлетворяющая этой системе.

Введем определитель системы

\[ D=\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}, \tag{2}\]

а также дополнительные определители

\( D_x=\begin{vmatrix} d_1 & b_1 & c_1 \\ d_2 & b_2 & c_2 \\ d_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix},  D_y=\begin{vmatrix} a_1 & d_1 & c_1 \\ a_2 & d_2 & c_2 \\ a_3 & d_3 & c_3 \end{vmatrix},  D_z=\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & d_3 \end{vmatrix}. \tag{3} \)

 последовательно умножая уравнения системы (1) на алгебраические дополнения \(A_1,A_2,A_3\) соответствующих элементов \( a_1,a_2,a_3\) первого столбца определителя \(D\), получим

\[ (a_1A_1+a_2A_2+a_3A_3)x+(b_1A_1+b_2A_2+b_3A_3)y+(c_1A_1+c_2A_2+c_3A_3)z=d_1A_1+d_2A_2+d_3A_3. \tag{4} \]

Отсюда применяя теорему разложения, будем иметь

\[ Dx+0 \cdot y+0 \cdot z=D_x, \]

то есть

\[ Dx=D_x. \tag{5} \]

Используя алгебраические дополнения элементов второго и третьего столбцов определителя \(D\), аналогично находим

\[ Dy=D_y, Dz=D_z. \tag{5'} \]

Если определитель системы \(D \neq 0\), то из уравнений (5) и (5') получаем единственное решение системы (1):

\( x=\frac{D_x}{D}, y=\frac{D_y}{D}, z=\frac{D_z}{D}. \tag{6} \)

Полученные формулы (6) называются формулами Крамера.

Правило Крамера гласит: неизвестные стандартной линейной системы (1) с ненулевым определителем представляют собой дроби, знаменатель которых есть определитель системы, а числители равны соответствующим дополнительным определителям.

Заметим, что если определитель системы \(D=0\), то система или несовместна или имеет бесконечно много решений.

Пример

Решить систему

\[ \left\{ \begin{aligned} x+2y+3z=1,\\ 2x+3y+z=0,\\ 3x+y+2z=0. \end{aligned} \right. \]

 Имеем

\[ D=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix}. \]

Вычитая из второго столбца удвоенный первый столбец, а из третьего столбца утроенный первый столбец, получим

\[ D=\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & -5 \\ 3 & -5 & -7 \end{vmatrix}=1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & -5 \\  -5 & -7 \end{vmatrix}=7-25=-18\neq0. \]

Для дополнительных определителей находим следующие значения:

 

\[ D_x=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix}=1 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \\  1 & 2 \end{vmatrix}=5, \]

\[ D_y=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \\ 3 & 0 & 2 \end{vmatrix}=-1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\  3 & 2 \end{vmatrix}=-1, \]

\[ D_z=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \end{vmatrix}=1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \\  3 & 1 \end{vmatrix}=-7. \]

Другие материалы в этой категории: « Определители третьего порядка Метод Гаусса »
Авторизуйтесь, чтобы получить возможность оставлять комментарии

Форма Входа

М.В.ЛомоносовВеликие люди о математике

Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит." (М.В.Ломоносов)

Отзывы

Спасибо! Заказ выполнен вовремя. Решение подробное и понятное. Работа зачтена, я всем довольна.

Елена.

Благодаря Вам сдал контрольную в срок и получил допуск к экзамену. Самому разобраться было некогда. Спасибо, что выручили.

Алексей.

Работа была сделана качественно и не вызвала у преподавателя никаких вопросов. Цена невысокая. Спасибо, буду обращаться ещё.

Карина.

© 2020 Решение задач и контрольных работ по высшей математике и физике в Саратове. Все права защищены.