Хвостам - НЕТ! - Центр помощи студентам

У нас Вы можете заказать решение задач или контрольной работы!

Решение задач и контрольных работ по высшей математике
Онлайн учебник  
 
Примеры решения задач  
 
Формулы
 
Таблицы
 
Литература
Решим контрольную работу или задачу по высшей математике в короткий срок за разумные деньги. Подробнее.. 

Метод Гаусса

Рассмотрим систему \(n\) линейных уравнений с \(n\) неизвестными:

\[ \begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+ \cdots + a_{1n}x_n=a_{1,n+1}, \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+ \cdots + a_{2n}x_n=a_{2,n+1}, \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots  \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots  \\a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+ \cdots + a_{nn}x_n=a_{n,n+1}. \end{cases} \tag{1} \]

 Здесь для коэффициентов системы введена двойная индексация: у коэффициента \(a_{ij}\) первый индекс \(i\) обозначает номер уравнения, а второй \(j\) - номер неизвестного.

Наиболее простой метод решения системы (1) - это метод исключения, называемый также методом Гаусса.

Пусть для определенности \(a_{11} \neq 0\) - ведущий коэффициент. Разделив все члены первого уравнения на \(a_{11}\), будем иметь приведенное уравнение

\[ x_1+\alpha_{12}x_2+ \cdots+\alpha_{1n}x_n=\alpha_{1,n+1}, \tag{2} \]

где

\[ \alpha_{1j}=\frac{a_{1j}}{a_{11}}   (j=1,2, \cdots, n+1). \tag{3}\]

Рассмотрим \(i\)-е уравнение системы (1):

\[ a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+ \cdots + a_{in}x_n=a_{i,n+1}. \tag{4} \]

Для исключения \(x_1\) из этого уравнения умножим приведенное уравнение (2) на \(a_{i1}\) и полученное уравнение вычтем из уравнения (4). Тогда будем иметь

\[ a_{i2}^{(1)}x_2+ \cdots+a_{in}^{(1)}x_n=a_{2,n+1}^{(1)}, \tag{5} \]

где

\[ a_{ij}^{(1)}=a_{ij}-a_{i1} \alpha_{1j}  (j=2, 3, \cdots, n+1).  \tag{6} \]

Таким образом, получаем укороченную систему

\[ \begin{cases} a_{22}^{(1)}x_2+ \cdots+a_{2n}^{(1)}x_n=a_{2,n+1}^{(1)}, \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots  \cdots \cdots \cdots \cdots  \\ a_{n2}^{(1)}x_2+ \cdots+a_{nn}^{(1)}x_n=a_{n,n+1}^{(1)}, \end{cases} \tag{7} \]

коэффициенты которой определяются по формулам (6).

Из системы (7) таким же способом можно исключить неизвестное \(x_2\), причем новые коэффициенты будут вычисляться по формулам типа (6) и т. д. Эта часть вычислений называется прямым ходом метода Гаусса.

Для определения неизвестных \(x_1, x_2, \cdots, x_n\) рассмотрим приведенные уравнения

\[  \left\{ \begin{aligned} x_1+\alpha_{12}x_2+ \cdots+\alpha_{1n}x_n & =\alpha_{1,n+1}, \\ x_2+ \cdots+\alpha_{2n}^{(1)}x_n & =\alpha_{2,n+1}^{(1)},\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ x_n & =\alpha_{n,n+1}^{(n-1)}. \end{aligned} \right.  \tag{8} \]

Отсюда последовательно находим неизвестные (эти операции называются обратным ходом метода Гаусса)

\[  \begin{cases} x_n  =\alpha_{n,n+1}^{(n-1)}, \\ x_{n-1} =\alpha_{n-1,n+1}^{(n-2)}-\alpha_{n-1,n}^{(n-2)}x_n, \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ x_1=\alpha_{1,n+1}-\alpha_{1n}x_n- \cdots-\alpha_{1,n-1}x_{n-1}-\cdots -\alpha_{12}x_2. \\   \end{cases}  \tag{9} \]

Если система (1) несовместна, то метод Гаусса не реализуем.

Пример

Решить систему методом Гаусса

\[ \begin{cases} 2x_1-3x_2+4x_3=20, \\ 3x_1+4x_2-2x_3=-11, \\ 4x_1+2x_2+3x_3=9. \end{cases} \tag{10}\]

Считая коэффициент 2 ведущим и деля на этот коэффициент первое уравнение, получаем систему, в которой  первое уравнение является приведенным.

\[ \left\{ \begin{aligned} x_1-1,5x_2+2x_3 &=10, \\ 3x_1+4x_2-2x_3 & =-11, \\ 4x_1+2x_2+3x_3 & =9. \end{aligned} \right. \]

Далее, стремимся привести систему к треугольному виду. Для этого исключаем \(x_1\) из второго и третьего уравнений системы. Это достигается вычитанием из второго и третьего уравнений первого (приведенного) уравнения, умноженного на 3 и 4 соответственно:

\[ \left\{ \begin{aligned} x_1-1,5x_2+2x_3 & =10, \\ 8,5x_2-8x_3 & =-41, \\ 8x_2-5x_3 & =-31. \end{aligned} \right. \]

 Теперь принимаем за ведущий коэффициент 8,5 и делим на него второе уравнение, в результате чего получаем

\[ \left\{ \begin{aligned} x_1-1,5x_2+2x_3 & =10, \\ x_2-0,625x_3 & =-3,875, \\ 8x_2-5x_3 & =-31. \end{aligned} \right. \]

Исключаем из третьего уравнения \(x_2\) вычитанием из него второго (приведенного) уравнения, умноженного на 8

\[ \left\{ \begin{aligned} x_1-1,5x_2+2x_3 & =10, \\ x_2-0,625x_3 & =-3,875, \\ -2,6875x_3 & =-8,0625. \end{aligned} \right. \]

Возьмем за ведущий коэффициент -2,6875 и разделим на него третье уравнение системы, получим систему уравнений треугольного вида:

\[ \left\{ \begin{aligned} x_1-1,5x_2+2x_3 & =10, \\ x_2-0,625x_3 & =-3,875, \\ x_3 & =3. \end{aligned} \right. \]

На этом заканчивается прямой ход метода Гаусса. Неизвестные \(x_3,x_2,x_1\) последовательно определяются из приведенных уравнений (обратный ход метода Гаусса):

\[ \begin{cases} x_3=3, \\ x_2-0,625x_3=-3,875 \\ x_1-1,5x_2+2x_3=10. \end{cases}\]

Отсюда

\[ \begin{cases} x_3=3, \\ x_2=-3,875+0,625 \cdot 3, \\ x_1=10-2 \cdot 3+1,5 \cdot (-2), \end{cases} \]

Окончательно имеем решение системы (10):

\[ \begin{cases} x_1=1, \\ x_2=-2, \\ x_3=3. \end{cases}\]

Другие материалы в этой категории: « Формулы Крамера
Авторизуйтесь, чтобы получить возможность оставлять комментарии

Форма Входа

М.В.ЛомоносовВеликие люди о математике

азве ты не заметил, что способный к математике изощрен во всех науках в природе? (Платон)

Отзывы

Спасибо! Заказ выполнен вовремя. Решение подробное и понятное. Работа зачтена, я всем довольна.

Елена.

Благодаря Вам сдал контрольную в срок и получил допуск к экзамену. Самому разобраться было некогда. Спасибо, что выручили.

Алексей.

Работа была сделана качественно и не вызвала у преподавателя никаких вопросов. Цена невысокая. Спасибо, буду обращаться ещё.

Карина.

© 2020 Решение задач и контрольных работ по высшей математике и физике в Саратове. Все права защищены.