Хвостам - НЕТ! - Центр помощи студентам

У нас Вы можете заказать решение задач или контрольной работы!

Решение задач и контрольных работ по высшей математике
Онлайн учебник  
 
Примеры решения задач  
 
Формулы
 
Таблицы
 
Литература
Решим контрольную работу или задачу по высшей математике в короткий срок за разумные деньги. Подробнее.. 

Второй замечательный предел

 

\[ \lim_{x \to \infty} \left( 1+\frac1x \right)^x=e  \]

 

Доказательство:  Доказывать будем теорему для случая последовательности \[ \left( 1+\frac1n \right)^n \quad (n=1,2,...).\]Пользуясь биномом Ньютона, будем иметь

\[\left( 1+\frac1n \right)^n=1+n \cdot \frac1n+\frac{n(n-1)}{1 \cdot 2} \cdot \left( \frac 1n \right)^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{1 \cdot 2 \cdot 3} \cdot \left( \frac 1n \right)^3+\cdots \\  \cdots+\frac{n(n-1)...[n-(n-1)]}{1 \cdot 2 \cdot 3 ... n} \cdot \left( \frac 1n \right)^n,\]

или

\[\left( 1+\frac1n \right)^n=2+ \frac 12\left( 1-\frac 1n \right)+\frac 1{2 \cdot 3} \left( 1-\frac 1n \right) \left( 1-\frac 2n \right)+ \cdots \\ \cdots+\frac 1{2 \cdot 3...n} \left( 1-\frac 1n \right) \left( 1-\frac 2n \right) \cdots \left( 1-\frac {n-1}n \right). \tag{1}\]

При \(n>1\) все слагаемые в формуле (1) положительны, причем с возрастанием показателя \(n\) увеличивается число слагаемых и каждое соответствующее слагаемое становится больше.

Следовательно, последовательность

\[ \left( 1+\frac1n \right)^n,\]

начиная с наименьшего значения, равного 2, растет вместе с показателем \(n\).

C другой стороны, очевидно, каждое слагаемое в правой части формулы (1) увеличится, если все множители знаменателей заменить на двойки, а каждую из скобок заменить единицей. Поэтому

\[ \left( 1+\frac1n \right)^n<2+\frac 12+ \frac 1{2^2}+ \cdots +\frac 1{2^{n-1}}.\]

В силу известной формулы для суммы геометрической прогрессии имеем

\[ \frac 12+ \frac 1{2^2}+ \cdots +\frac 1{2^{n-1}}= \frac {\frac 12- \frac 1{2^n}}{1-\frac 12}=1- \frac 1{2^{n-1}}<1.\]

Отсюда

\[ \left( 1+\frac1n \right)^n<3.\]

Таким образом, члены последовательности \[ \left( 1+\frac1n \right)^n\]при неограниченном возрастании \(n\) постоянно возрастают, оставаясь больше 2, но меньше 3.

Следовательно, на основании следствия к теореме о пределе монотонной функции существует конечный предел этой последовательности, принадлежащий отрезку [2,3]. Этот предел и называется числом \(e\). Итак,

\[e=\lim_{n \to \infty} \left( 1+\frac 1n\right)^n.\]

Приближенное значение этого числа есть

\[e=2,7182818284...\]

Можно доказать, что функция

\[\left( 1+\frac 1x\right)^x \quad (x \in(-\infty , -1)\cup (0, +\infty))\]

при \(x \to \infty\) стремится к числу \(e\):

\[e=\lim_{x \to \infty} \left( 1+\frac 1x\right)^x.\]

Пример

 Найти

\[\lim_{x \to \infty} \left( 1+\frac 2x\right)^x\]

Полагая

\[\frac 2x=\alpha,\]

будем иметь

\[\lim_{x \to \infty} \left( 1+\frac 2x\right)^x=\lim_{\alpha \to 0} ( 1+\alpha)^{\frac 2{\alpha}}=\lim_{\alpha \to 0} \left[ (1+\alpha)^{\frac 1{\alpha}} \right]^2=e.\]

Авторизуйтесь, чтобы получить возможность оставлять комментарии

Форма Входа

М.В.ЛомоносовВеликие люди о математике

Математика - это язык, на котором говорят все точные науки." (Н.И.Лобачевский)

Отзывы

Спасибо! Заказ выполнен вовремя. Решение подробное и понятное. Работа зачтена, я всем довольна.

Елена.

Благодаря Вам сдал контрольную в срок и получил допуск к экзамену. Самому разобраться было некогда. Спасибо, что выручили.

Алексей.

Работа была сделана качественно и не вызвала у преподавателя никаких вопросов. Цена невысокая. Спасибо, буду обращаться ещё.

Карина.

© 2020 Решение задач и контрольных работ по высшей математике и физике в Саратове. Все права защищены.