Хвостам - НЕТ! - Центр помощи студентам

У нас Вы можете заказать решение задач или контрольной работы!

Решение задач и контрольных работ по высшей математике
Онлайн учебник  
 
Примеры решения задач  
 
Формулы
 
Таблицы
 
Литература
Решим контрольную работу или задачу по высшей математике в короткий срок за разумные деньги. Подробнее.. 

Теорема о пределе монотонной функции

Функция \(f(x)\) называется возрастающей (не убывающей) на данном множестве \(X\), если из неравенства \(x_1<x_2 \quad (x_1,x_2 \in X)\) следует неравенство \(f(x_1)<f(x_2)\) (соответственно \(f(x_1) \le f(x_2)\)).

 

Функция \(f(x)\) называется убывающей (не возрастающей) на данном множестве \(X\), если из неравенства \(x_1<x_2 \quad (x_1,x_2 \in X)\) следует неравенство \(f(x_1)>f(x_2)\) (соответственно \(f(x_1) \ge f(x_2)\)).

 

Возрастающая (не убывающая) или убывающая (не возрастающая) называется монотонной на данном множестве \(X\).

 

Пусть функция \(f(x)\) монотонна и ограничена при \(x<a\), или при \(x>a\). тогда существует соответственно левый предел ее

\[\lim_{x \to a-0} f(x)=f(a-0)\]

или правый предел ее

\[\lim_{x \to a+0} f(x)=f(a+0).\]

Доказательство этой теоремы приводить не будем.

Аналогичное утверждение верно для \(a=- \infty\) или для \(a=+ \infty\)

Следствие. Ограниченная монотонно возрастающая или монотонно убывающая последовательность \(x_n \quad (n=1,2,...)\) имеет предел.

Пример

 Рассмотрим последовательность периметров \(P_3\), \(P_6\), \(P_{12}\), ... правильных \(n\)-угольников (\(n=3,6,12,...\)), вписанных в окружность радиуса \(R\) и получаемых в результате удвоения числа их сторон.

Легко убедиться, что

\[P_3<P_6<P_{12}< ...,\]

т.е. периметр \(P_n\) монотонно возрастает вместе с \(n\). В то же время величина \(P_n\) ограничена, так как периметр каждого вписанного правильного \(n\)-угольника никогда не превышает периметра любого описанного многоугольника, например, периметра описанного квадрата, т. е. \(P_n<8R.\)

Следовательно, существует

\[\lim_{n \to \infty} P_n=C,\]

который принимается за длину окружности.

 

Авторизуйтесь, чтобы получить возможность оставлять комментарии

Форма Входа

М.В.ЛомоносовВеликие люди о математике

Именно математика дает надежнейшие правила: кто им следует – тому не опасен обман чувств." (Л.Эйлер)

Отзывы

Спасибо! Заказ выполнен вовремя. Решение подробное и понятное. Работа зачтена, я всем довольна.

Елена.

Благодаря Вам сдал контрольную в срок и получил допуск к экзамену. Самому разобраться было некогда. Спасибо, что выручили.

Алексей.

Работа была сделана качественно и не вызвала у преподавателя никаких вопросов. Цена невысокая. Спасибо, буду обращаться ещё.

Карина.

© 2020 Решение задач и контрольных работ по высшей математике и физике в Саратове. Все права защищены.