Непрерывность функции

Вы здесь:

Главная

Онлайн учебник

Математический анализ

Непрерывность функции

размер шрифта уменьшить размер шрифта увеличить размер шрифта

Приращением некоторой переменной величины называется разность между новым значением этой величины и ее прежним значением. Обозначается символом \(\Delta\).

Предположим, что есть некоторая функция от аргумента \(x\), т.е.

\[y=f(x). \tag{1}\]

Дадим аргументу \(x\) приращение \(\Delta x\); тогда \(y\) получит соответствующее приращение \(\Delta y\). Этот факт можно записать так:

\[y+\Delta y=f(x+\Delta x). \tag{2}\]

Из равенств (1) и (2) следует

\[\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x). \tag{3}\]

Понятие приращения функции поясним геометрически.

Пусть кривая \(AB\) есть график функции \(y=f(x).\)

Рассмотрим на этой кривой точку \(M\) с текущими координатами \(x\) и \(y\). Дадим абсциссе \(x\) точки \(M(x,y)\) приращение \(\Delta x\), тогда ордината ее получит приращение \(\Delta y\). точка \(M\) займет при этом положение \(M'(x+\Delta x, y+\Delta y).\) Пусть \(C\) есть точка пересечения прямой, проходящей через точку \(M\) и параллельной оси \(Ox\), и перпендикуляра \(M'N'\), опущенного из точки \(M'\) на ось \(Ox\). Тогда

\[MC=\Delta x, \quad CM'=\Delta y.\]

Может случиться, что для некоторого \(x\) при стремлении \(\Delta x\) к нулю точка \(M'\) неограниченно приближается к точке \(M\) и, следовательно, \(\Delta y\) также стремится к нулю. В таком случае фуекция \(y=f(x)\) называется непрерывной при данном значении \(x\). Более точно:

Функция \(f(x)\), определенная на множестве \(X\), называется непрерывной на множестве при \(x=x_1\) (непрерывной в точке \(x_1\)), если:

1) функция определена при \(x=x_1\) (т. е. \(x \in X\));

2) приращение функции в точке \(x_1\) стремится к нулю, когда приращение аргумента \(\Delta x_1=x-x_1\) стремится к нулю, т. е.

\[\lim_{\Delta x_1 \to 0} [f(x_1+ \Delta x_1)-f(x_1)]=0, \tag{4}\]

где бесконечно малое приращение \(\Delta x_1\) пробегает лишь те значения, для которых \(f(x_1+\Delta x_1)\) имеет смысл.

Короче говоря, функция называется непрерывной в данной точке, если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Используя понятие предела функции, получаем развернутое определение непрерывности функции в точке:

Функция \(f(x)\) непрерывна в точке \(x_1\) тогда и только тогда, когда \(\forall \epsilon>0 \quad \exists \delta=\delta (\epsilon , x_1)>0\) такое, что

\[|f(x)-f(x_1)|=|f(x_1+\Delta x_1)-f(x_1)|< \epsilon , \tag{5}\]

если \(x=x_1+ \Delta x_1\) и \(0<|\Delta x_1|<\delta\) (\(\Delta x_1\)-любое допустимое приращение). Заметим, что неравенство (5) выполнено и при \(\Delta x_1=0\), т. е. здесь \(\delta\)-окрестность точки \(x_1\) можно трактовать как полную: \(|\Delta x_1|<\delta.\)

Функция \(f(x)\) непрерывна на данном множестве \(X\), если

1) она определена на этом множестве (т. е. \(\forall x \in X \quad \exists f(x)\));

2) непрерывна в каждой точке этого множества, т. е. \(\forall x \in X\) справедливо равенство

\[\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y =\lim_{\Delta x \to 0} [f(x+\Delta x)-f(x)]=0, \tag{6}\]

где \(x+\Delta x \in X.\)

Пример 1

Функция

\[f(x)=\begin{cases} 1 & \text{при} \quad x \in [0,1], \\ 0 & \text{при} \quad x \notin [0,1] \end{cases}\]

непрерывна на отрезке \(X=[0,1]\), хотя она не является непрерывной на оси \(- \infty <x<+ \infty.\)

Пример 2

Исследовать на непрерывность функцию

\[y=x^2.\]

Давая аргументу \(x\) приращение \(\Delta x\), получим

\(y+\Delta y=(x+\Delta x)^2=x^2+2x \cdot \Delta x+(\Delta x)^2,\)

где \(\Delta y\) - приращение функции \(y\). Отсюда

\[\Delta y=\Delta x \cdot (2x+\Delta x).\]

Следовательно, каково бы ни было фиксированное значение \(x\), если \(\Delta x\) бесконечно мало, то \(\Delta y\) также будет бесконечно малым. Поэтому функция \(x^2\) является непрерывной функцией в бесконечном интервале \((- \infty, +\infty).\)

Аналогично можно доказать непрерывность степенной функции \(x^n\), где \(n\) - натуральное постоянное число.

Точка, в которой нарушается непрерывность функции, называется точкой разрыва этой функции.

Если \(x=x_0\) - точка разрыва функции \(y=f(x)\), то возможны два случая:

1) функция \(f(x)\) определена при \(x=x_0\), причем

\[\Delta y=f(x_0+\Delta x_0)-f(x_0) \not \to 0\]

при \(\Delta x_0=x-x_0 \to 0;\)

2) функция \(f(x)\) не определена при \(x=x_0\) и говорить о приращении функции в точке \(x_0\) не имеет смысла. В этом случае условимся \(x=x_0\) называть точкой разрыва функции \(f(x)\) только тогда, когда функция \(f(x)\) определена в непосредственной близости значения \(x_0\).

Если можно изменить или дополнительно определить функцию \(f(x)\) в точке \(x_0\) (т. е. выбрать число \(f(x_0)\)) так, что измененная или дополненная функция \(f(x)\) будет непрерывна при \(x=x_0\), то эта точка называется устранимой точкой разрыва функции \(f(x)\). В противном случае, т. е. когда функция \(f(x)\) остается разрывной при \(x=x_0\) при любом выборе числа \(f(x_0)\), значение \(x_0\) называется неустранимой точкой разрыва функции \(f(x)\).

Пример 3

Пусть

\[f(x)=\frac 1{(x-2)^2}.\]

Эта функция не определена при \(x=2\), но имеет смысл для всех значений \(x \neq 2\). Какое бы значение мы ни приписали числу \(f(2)\), всегда будем иметь

\[f(2+\Delta x)-f(2)=\frac 1{(\Delta x)^2}-f(2) \to \infty\]

при \(\Delta x \to 0.\) Таким образом, здесь при \(x=2\) при любом выборе значения \(f(2)\) бесконечно малому приращению \(\Delta x\) аргумента соответствует бесконечно большое приращение \(\Delta y \) функции. Следовательно, эта функция имеет неустранимую точку разрыва при \(x=2\).