Точка \(x_0\) разрыва функции \(f(x)\) называется точкой разрыва первого рода, если существуют конечные односторонние пределы функции:

\[\lim_{x \to x_0-0} f(x)=f(x_0-0), \quad  \lim_{x \to x_0+0} f(x)=f(x_0+0)\]

(при этом функция \(f(x)\) не обязательно должна быть определена в точке \(x_0\), т.е. \(f(x_0)\) может не существовать).

Величина

\[\delta =f(x_0+0)-f(x_0-0)\]

называется скачком функции \(f(x)\) в точке \(x_0\).

Все прочие точки разрыва \(x_1\) функции \(f(x)\) называются ее точками разрыва второго рода. Среди них важное значение имеют точки бесконечного разрыва \(x_1\), для которых существуют (конечные или бесконечные) односторонние пределы

\[\lim_{x \to x_1-0} f(x) \quad \lim_{x \to x_1+0} f(x)\]

и хотя бы один из них является бесконечным.

В этом случае, прямая \(x=x_1\) называется вертикальной асимптотой графика функции \(y=f(x)\).

Функция, допускающая на данном промежутке лишь точки разрыва первого рода, называется кусочно-непрерывной на этом промежутке. Причем в точках разрыва кусочно-непрерывная функция может быть не определена.

Отметим, что для непрерывности функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) необходимо и достаточно равенство трех чисел:

\[f(x_0-0)=f(x_0+0)=f(x_0)\]

(т.е. равенство нулю скачка функции в точке \(x_0\)).