Функция

Вы здесь:

Главная

Онлайн учебник

Математический анализ

Функция

размер шрифта уменьшить размер шрифта увеличить размер шрифта

Пусть \(X\) и \(Y\) - данные числовые множества. Если некоторое соответствие \(f\) ставит в соответствие каждому элементу множества \(X\) только один элемент множества \(Y\), то \(f\) называется однозначной функцией от \(x\), определенной на множестве \(X\).

Функция обозначается следующим образом:

\( y=f(x)\)

Множество значений функции по смыслу определения, содержится в \(Y\), т. е. \({f(x)} \subset Y.\)

Можно сказать, что функция \(f\) осуществляет отображение множества \(X\) в множество \(Y\).

Пример

Функция \(f(x)=\sin x \) \((0<x<2\pi)\) отображает интервал \(X=(0,2\pi) \) на отрезок \(Y=[-1,1].\)

Введем определение обратной функции.

Пусть между элементами множеств \(X\) и \(Y\) функция \(y=f(x)\) устанавливает взаимно однозначное соответствие, т. е. для любого \(x \in X\) существует один и только один его образ \(y=f(x) \in Y\) и обратно, для любого \(y \in Y\) найдется единственный прообраз \(x \in X\) такой, что \(f(x)=y\). Тогда функция \(x=f^{-1}(y)\) \((y \in Y)\), устанавливающая соответствие между элементами множеств \(Y\) и \(X\), называется обратной для функции \( y=f(x)\). Иными словами, обратная функция \(f^{-1}\) является отображением множества \(Y\) на множество \(X\). Функции \( y=f(x)\) и \( x=f^{-1}(y)\) взаимно обратны.