Хвостам - НЕТ! - Центр помощи студентам

У нас Вы можете заказать решение задач или контрольной работы!

Решение задач и контрольных работ по высшей математике
Онлайн учебник  
 
Примеры решения задач  
 
Формулы
 
Таблицы
 
Литература
Решим контрольную работу или задачу по высшей математике в короткий срок за разумные деньги. Подробнее.. 

Предел функции

Введем определение окрестности точки:

Окрестностью \(U_a\) точки \(a\) называется любой интервал \(\alpha <x< \beta\), окружающий эту точку \((\alpha <x< \beta)\).

 

Проколотой окрестностью  называется любой интервал \(\alpha <x< \beta\), окружающий эту точку \((\alpha <x< \beta)\), из которого удалена точка \(a\).

Для положительного числа \(\delta\) окрестность \(U_a\) некоторой конечной точки \(a\) назовем \(\delta\)-окрестностью, если \(U_a=(a-\delta, a+\delta)\), т. е. если для любого \(x\)

\[ |x-a|<\delta.\]

Число \(A\) называется пределом функции \(f(x)\) при \(x \to a\), т. е.

\[ \lim_{x \to a} f(x)=A,\]

если для любого \(\epsilon >0\) существует такая \(\delta\)-окрестность \(U_a=\{x: |x-a|<\delta\}\),  \(\delta=\delta(\epsilon)\) - зависит от \(\epsilon\), что

\( |f(x)-A|<\epsilon\) при \(x \in U_a.\)

Это определение означает следующее: если значение функции стремится к числу \(A\) при стремлении к \(a\) аргумента функции, то \(A\) называется пределом функции.

Введем еще одно определение:

Утверждение

\[ \lim_{x \to \infty} f(x)=A\]

эквивалентно следующему:

\( |f(x)-A|<\epsilon\) при \( |x|>\Delta, \)

где \(\Delta=\Delta(\epsilon)\) зависит от \(\epsilon\).

Это определение можно истолковать так: если значение функции стремится к числу \(A\) при стремлении к бесконечности аргумента функции, то \(A\) называется пределом функции.

Пример 1

Показать, что

\[ \lim_{x \to 2} x^2=4. \tag {1} \]

Для удобства будем предполагать, что 1<x<3, т.е. \(|x-2|<1\).

Пусть \(\epsilon>0\) - произвольное число. Имеем

\[ |x^2-4|=|x-2||x+2|=|x-2|(x+2)<5|x-2|<\epsilon,\]

если

\( |x-2|<\frac{\epsilon}{5} \) и \(|x-2|<1.\)

Отсюда можно положить

\[ \delta=min \left(\frac{\epsilon}{5},1\right) >0. \]

Таким образом, равенство (1) доказано. Заметим, что здесь \(\delta\)-окрестность  точки \(x=2\) - полная, т. е. содержит точку 2.

Ниже приведена иллюстрация к этой задаче.

Пример 2

Показать, что

\( \frac{x}{x+1} \to 1 \) при \( x \to \infty. \tag{2}\)

Имеем

\[ \left| \frac{x}{x+1}-1 \right|=\frac1{|x+1|}=\frac1{|x-(-1)|} \le \frac1{|x|-|-1|}=\frac1{|x|-1}<\epsilon, \]

если только

\[ |x|>1+\frac1{\epsilon}=\Delta, \]

что эквивалентно утверждению (2).

Другие материалы в этой категории: « Функция Свойства пределов функций »
Авторизуйтесь, чтобы получить возможность оставлять комментарии

Форма Входа

М.В.ЛомоносовВеликие люди о математике

Математика есть лучшее и даже единственное введение в изу­чение природы." (Д.И.Писарев)

Отзывы

Спасибо! Заказ выполнен вовремя. Решение подробное и понятное. Работа зачтена, я всем довольна.

Елена.

Благодаря Вам сдал контрольную в срок и получил допуск к экзамену. Самому разобраться было некогда. Спасибо, что выручили.

Алексей.

Работа была сделана качественно и не вызвала у преподавателя никаких вопросов. Цена невысокая. Спасибо, буду обращаться ещё.

Карина.

© 2020 Решение задач и контрольных работ по высшей математике и физике в Саратове. Все права защищены.