Хвостам - НЕТ! - Центр помощи студентам

У нас Вы можете заказать решение задач или контрольной работы!

Решение задач и контрольных работ по высшей математике
Онлайн учебник  
 
Примеры решения задач  
 
Формулы
 
Таблицы
 
Литература
Решим контрольную работу или задачу по высшей математике в короткий срок за разумные деньги. Подробнее.. 

Свойства пределов функций

Сформулируем несколько свойств пределов функций.

1. Если \(f(x)=c\)   (где \(с=const\), т. е. \(с\) - постоянная), то

\[ \lim_{x \to a} f(x)=c. \]

 

2. Если существуют \(\lim\limits_{x \to a} f(x) \) и \(\lim\limits_{x \to a} g(x)\), то

\[ \lim_{x \to a}[f(x)+g(x)]=\lim_{x \to a} f(x)+\lim_{x \to a} g(x),\]

\[ \lim_{x \to a}f(x)g(x)=\lim_{x \to a} f(x)\lim_{x \to a} g(x),\]

а если \(\lim\limits_{x \to a} g(x) \neq 0 \), то и

\[ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim\limits_{x \to a} f(x)}{\lim\limits_{x \to a} g(x)}.\]

Следствие 1. Если \(\lim\limits_{x \to a} f(x) \) существует, то для любого числа \(c\)

\[ \lim\limits_{x \to a} cf(x)=с\lim\limits_{x \to a} f(x). \]

Следствие 2. Если \(\lim\limits_{x \to a} f(x) \) существует, то для любого числа \(n\)

\[ \lim\limits_{x \to a} [f(x)]^n=[\lim\limits_{x \to a} f(x)]^n. \]

Пример 1

\[  \lim\limits_{x \to \infty} \frac{(x+10)(x+20)^2(x+30)^3}{x^6}  = \lim\limits_{x \to \infty} \left[ \left(1+\frac{10}{x} \right) \left(1+\frac{20}{x} \right)^2 \left(1+\frac{30}{x} \right)^3 \right] \\  = \lim\limits_{x \to \infty} \left(1+\frac{10}{x} \right) \lim\limits_{x \to \infty} \left(1+\frac{20}{x} \right)^2 \lim\limits_{x \to \infty} \left(1+\frac{30}{x} \right)^3 \\  = 1\cdot 1\cdot 1=1 \]

Пример 2

\[ \lim\limits_{x \to 1} \frac{x^2-1}{x^3-1}=\lim\limits_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x^2+x+1)} \\ = \lim\limits_{x \to 1} \frac{x+1}{x^2+x+1} \\ = \frac{\lim\limits_{x \to 1} (x+1)} {\lim\limits_{x \to 1} (x^2+x+1)}=\frac23. \]

Другие материалы в этой категории: « Предел функции Первый замечательный предел »
Авторизуйтесь, чтобы получить возможность оставлять комментарии

Форма Входа

М.В.ЛомоносовВеликие люди о математике

Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле." (А.Н.Крылов)

Отзывы

Спасибо! Заказ выполнен вовремя. Решение подробное и понятное. Работа зачтена, я всем довольна.

Елена.

Благодаря Вам сдал контрольную в срок и получил допуск к экзамену. Самому разобраться было некогда. Спасибо, что выручили.

Алексей.

Работа была сделана качественно и не вызвала у преподавателя никаких вопросов. Цена невысокая. Спасибо, буду обращаться ещё.

Карина.

© 2020 Решение задач и контрольных работ по высшей математике и физике в Саратове. Все права защищены.