Докажем теорему:
\[ \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1. \tag{1} \]
Доказательство:
1) Пусть сначала \(x>0\), причем так как дуга \(x\) стремится к нулю, то можно считать, что \(0<x<\frac {\pi}{2}\).
В тригонометрическом круге радиуса \(R=1\) построим угол \(x=\angle AOB\) и пусть \(DB\) - длина перпендикуляра, опущенного из точки \(B\) на радиус \(OA\) и \(AC\) - отрезок касательной к окружности, проведенной в точке \(A\) до точки пересечения ее с продолженным радиусом \(AB\).
Имеем для площадей,
\[ S_{\triangle OAB}< S_{сектора OAB}<S_{\triangle OAC}. \]
Так как \(DB=\sin x\) и \(AC=tg\;x\), то на основании формул элементарной геометрии получаем
\[ \frac12 \sin x<\frac12 x<\frac12 tg\;x,\]
т.е.
\[ \sin x< x< tg\;x \tag{2}, \]
Разделив все члены последнего двойного неравенства на положительную величину \(\sin x\), будем иметь
\[ 1<\frac{x}{\sin x}<\frac{1}{\cos x} \tag{3}\]
или
\[ \cos x<\frac{\sin x}{x}<1. \tag{4} \]
Пусть \(x \to +0\); тогда из наглядных соображений получаем \(\cos x \to 1\). Таким образом, из неравенства (4) следует, что функция \(\sin x/x\) заключена между двумя функциями, имеющими общий предел, равный 1. На основании теоремы о двух милиционерах получаем
\[ \lim\limits_{x \to +0} \frac{\sin x}{x}=1. \tag{5} \]
2) Пусть теперь \(x<0\); имеем
\[ \frac{\sin x}{x}=\frac{\sin (-x)}{-x} \],
где \(-x>0\). Поэтому
\[ \lim\limits_{x \to -0} \frac{\sin x}{x}=1. \tag{5'} \]
Из формул (5) и (5') следует равенство (1).
Что и требовалось доказать.