Решим контрольную работу или задачу по высшей математике в короткий срок за разумные деньги. 
Теорема о двух милиционерах
-
размер шрифта
уменьшить размер шрифта
увеличить размер шрифта
-
-
Не всякая функция имеет предел, даже будучи ограниченной. Например, \(\sin x\) при \(x \to \infty\) предела не имеет, хотя \(|\sin x| \le 1\). Укажем признак существования предела функции.
Теорема о промежуточной функции (теорема о двух милиционерах). Пусть в некоторой окрестности \(U_a\) точки \(a\) функция \(f(x)\) заключена между двумя функциями \(\phi (x)\) и \(\psi (x)\), имеющими одинаковый предел \(A\) при \(x \to a\), т.е.
\[ \phi (x) \le f(x) \le \psi (x) \tag{1} \]
\[ \lim\limits_{x \to a} \phi (x)=\lim\limits_{x \to a} \psi (x)=A \tag{2} \]
Тогда функция \(f(x)\) имеет тот же предел:
\[ \lim\limits_{x \to a} f(x)=A. \tag{3} \]
Доказательство. Из неравенства (1) имеем
\[ \phi (x)-A \le f(x)-A \le \psi (x)-A. \]
Отсюда
\[ |f(x)-A| \le max(|\phi(x)-A|,|\psi(x)-A|). \tag{4} \]
На основании условия (2) для любого \(\epsilon >0\) существует такая окрестность \(U_a\), что
$\( |\phi(x)-A|<\epsilon\) и \(|\psi(x)-A|)<\epsilon \) при \(x \in U_a,\)
т. е. справедливо равенство (3).
Великие люди о математике
E-mail
Skype
Телефон
