Хвостам - НЕТ! - Центр помощи студентам

У нас Вы можете заказать решение задач или контрольной работы!

Решение задач и контрольных работ по высшей математике
Онлайн учебник  
 
Примеры решения задач  
 
Формулы
 
Таблицы
 
Литература
Решим контрольную работу или задачу по высшей математике в короткий срок за разумные деньги. Подробнее.. 

Классическое определение вероятности

Пусть событие \(A\) - некоторый исход испытания и

\[E_1, E_2, ...,E_n \tag{1}\]

- конечная система всех возможных элементарных исходов этого испытания. Таким образом, событие \(A\) происходит тогда, когда имеют место некоторые события из системы (1) (благоприятные исходы).

Вероятность \(P(A)\) события \(A\) - это отношение числа элементарных исходов, благоприятных событию \(A\), к общему числу всех элементарных исходов данного испытания.

Таким образом, если \(m\) - число элементарных исходов, благоприятных событию \(A\), и \(n\) - общее число всех элементарных исходов при данном испытании, то на основании определения имеем формулу

\[P(A)=\frac mn. \tag{2}\]

Так как, очевидно,

\[0 \le m \le n,\]

то

\[0 \le P(A) \le 1, \tag{3}\]

т. е. вероятность любого события есть неотрицательное число, не превышающее единицы.

Из определения вероятности вытекают следующие основные ее свойства.

1. Вероятность невозможного события равна нулю.

Действительно, если событие \(A\) невозможно, то число благоприятных ему элементарных исходов \(m=0\), и мы имеем

\[P(A)=\frac0n=0.\]

2. Вероятность достоверного события равна единице.

В самом деле, если событие \(A\) достоверно, то, очевидно, \(m=n\) и, следовательно,

\[P(A)=\frac nn=1.\]

Событие \(\overline A\), происходящее тогда и только тогда, когда не происходит событие \(A\), называется противоположным событию \(A\).

 

Вероятность противоположного события \(\overline A\) равна дополнению вероятности данного события \(A\) до 1, т. е.

\[P(\overline A)=1-P(A).\]

Действительно, пусть полная система элементарных исходов содержит \(n\) событий, из которых \(m (m \le n)\) благоприятны событию \(A\). Тогда \(n-m\) элементарных исходов неблагоприятны событию \(\overline A\). Таким образом, имеем

\[P(\overline A)=\frac{n-m}{n}=1-\frac mn=1-P(A).\]

Приведем примеры на вычисление вероятностей событий.

Пример 1

Монета бросается два раза. Какова вероятность: 1) выпадения герба хотя бы один раз (событие A); 2) двукратного выпадения герба (событие B)?

Равнововозможными элементарными исходами здесь являются: ГГ, ГР, РГ, РР; их число \(n=4\).

Событию A благоприятствуют исходы ГГ, ГР, РГ, число которых \(m=3\). Следовательно,

\[P(A)=\frac mn=\frac 34.\]

Событию И благоприятствует один исход ГГ (\(m'=1\)). Поэтому

\[P(B)=\frac {m'}n=\frac 14.\]

Пример 2

Игральная кость бросается два раза. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков равна 6 (событие A)?

Равновозможными элементарными исходами здесь являются пары \((x,y)\), где \(x\) и \(y\) принимают значения : 1,2,3,4,5,6; общее число элементарных исходов \(n=36\).

Событию A благоприятствуют пары (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1), число которых \(m=5\).

Следовательно,

 \[ P(A)=\frac mn= \frac 5{36}.\]

Другие материалы в этой категории: Теорема сложения вероятностей »
Авторизуйтесь, чтобы получить возможность оставлять комментарии

Форма Входа

М.В.ЛомоносовВеликие люди о математике

Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле." (А.Н.Крылов)

Отзывы

Спасибо! Заказ выполнен вовремя. Решение подробное и понятное. Работа зачтена, я всем довольна.

Елена.

Благодаря Вам сдал контрольную в срок и получил допуск к экзамену. Самому разобраться было некогда. Спасибо, что выручили.

Алексей.

Работа была сделана качественно и не вызвала у преподавателя никаких вопросов. Цена невысокая. Спасибо, буду обращаться ещё.

Карина.

© 2020 Решение задач и контрольных работ по высшей математике и физике в Саратове. Все права защищены.