Хвостам - НЕТ! - Центр помощи студентам

У нас Вы можете заказать решение задач или контрольной работы!

Решение задач и контрольных работ по высшей математике
Онлайн учебник  
 
Примеры решения задач  
 
Формулы
 
Таблицы
 
Литература
Решим контрольную работу или задачу по высшей математике в короткий срок за разумные деньги. Подробнее.. 

Теорема умножения вероятностей

Вероятность события \(A\) при условии, что произошло событие \(B\), называется условной вероятностью события \(A\) и обозначается \(P(A/B).\)

 

Два события \(A\) и \(B\) называются независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от появления или непоявления другого, т. е.

\[P(A)=P(A/B)=P(A/ \overline B),\]

\[P(B)=P(B/A)=P(B/ \overline A).\]

В противном случае события называются зависимыми.

 

Вероятность произведения двух событий \(A\) и \(B\) равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, в предположении, что первое имеет место, т. е.

\[P(AB)=P(A)P(B/A). \tag{1}\]

Доказательство:

Пусть событию \(A\) благоприятствуют \(m\), а событию \(AB\) благоприятствуют \(k\) равновозможных элементарных исходов из общего их количества \(n\). Тогда

\[P(A)=\frac mn, P(AB)=\frac kn. \tag{2}\]

Но если событие \(A\) произошло, то в этой ситуации возможны лишь те \(m\) элементарных исходов, которые благоприятствовали событию \(A\), причем \(k\) из них, очевидно, благоприятствуют событию \(B\). Таким образом,

\[P(B/A)=\frac km.\]

Отсюда на основании равенств (2) имеем

\[P(AB)=\frac kn= \frac mn \cdot \frac km=P(A)P(B/A). \tag{3}\]

Теорема доказана.

Следствие: для любых двух событий \(A\) и \(B\) справедливо равенство

\[P(A)P(B/A)=P(B)P(A/B)\]

Вероятность совместного появления двух независимых событий \(A\) и \(B\) равна произведению вероятностей этих событий:

\[P(AB)=P(A)P(B). \tag{4}\]

Действительно, полагая, что P(B/A)=P(B), из формулы (3) получаем формулу (4).

Пример

Вероятность поражения цели первым стрелком (событие \(A\)) равна 0.9, а вероятность поражения цели вторым стрелком (событие B) равна 0.8. Какова вероятность, что цель будет поражена хотя бы одним стрелком?

Пусть \(C\) - интересующее нас событие; противоположное событие \(\overline C\), очевидно состоит в том, что оба стрелка промахнулись. Таким образом, \(\overline C=\overline A \overline B\). так как события \(\overline A\) и \(\overline B\) независимы (при стрельбе один стрелок не мешает другому!), то

\[ P(\overline C)=P(\overline A) \cdot P(\overline B)=[1-P(A)] \cdot [1-P(B)]=(1-0.9) \cdot (1-0.8)=0.1 \cdot 0.2=0.02.\]

Отсюда вероятность того, что цель будет поражена хотя бы одним стрелком, есть

\[P(C)=1-P(\overline C)=1-0.02=0.98.\]

Авторизуйтесь, чтобы получить возможность оставлять комментарии

Форма Входа

М.В.ЛомоносовВеликие люди о математике

Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит." (М.В.Ломоносов)

Отзывы

Спасибо! Заказ выполнен вовремя. Решение подробное и понятное. Работа зачтена, я всем довольна.

Елена.

Благодаря Вам сдал контрольную в срок и получил допуск к экзамену. Самому разобраться было некогда. Спасибо, что выручили.

Алексей.

Работа была сделана качественно и не вызвала у преподавателя никаких вопросов. Цена невысокая. Спасибо, буду обращаться ещё.

Карина.

© 2020 Решение задач и контрольных работ по высшей математике и физике в Саратове. Все права защищены.