Хвостам - НЕТ! - Центр помощи студентам

У нас Вы можете заказать решение задач или контрольной работы!

Решение задач и контрольных работ по высшей математике
Онлайн учебник  
 
Примеры решения задач  
 
Формулы
 
Таблицы
 
Литература
Решим контрольную работу или задачу по высшей математике в короткий срок за разумные деньги. Подробнее.. 

Формула Байеса

Рассмотрим следующую задачу: имеется полная группа несовместных гипотез

\[H_1, H_2, ..., H_n ,\]

вероятности которых \(P(H_i) (i=1, 2, ..., n)\) известны до опыта (вероятности априори). Производится опыт (испытание), в результате которого зарегистрировано появление события \(A\), причем известно, что этому событию наши гипотезы приписывали определенные вероятности  \(P(A/H_i) (i=1, 2, ..., n)\). Спрашивается, каковы будут вероятности этих гипотез после опыта (вероятности апостериори).

Например, очевидно, следует отбросить гипотезы, отрицающие появление события \(A\). Вообще, проблема состоит в том, что, имея новую информацию, мы должны переоценить вероятности наших гипотез.

Иными словами, нам нужно определить условные вероятности

\[P(H_i/A) (i=1, 2, ..., n).\]

На основании теоремы умножения вероятностей имеем

\[P(AH_i)=P(A) \cdot P(H_i/A)=P(H_i) \cdot P(A/H_i);\]

отсюда

\[P_A(H_i)= \frac{P(H_i)}{P(A/H_i)}{P(A)} (i=1, 2, ..., n). \tag{1}\]

Для нахождения вероятности \(P(A)\) можно использовать формулу полной вероятности

\[P(A)=\sum \limits_{j=1}^n P(H_j) P(A/H_j). \tag{2}\]

Отсюда имеем формулу вероятностей гипотез после опыта (формулу Байеса)

\[P(H_i/A)= \frac{P(H_i) P(A/H_i)}{\sum \limits_{j=1}^n P(H_j) P(A/H_j)} (i=1, 2, ..., n). \tag{3}\]

Пример

 Вероятность поражения самолета при одиночном выстреле для 1-го ракетного расчета (событие A) равна 0.2, a для 2-го (событие B) -0.1. Каждое из орудий производит по одному выстрелу, причем зарегистрировано одно попадание в самолет (событие С).  Какова вероятность, что удачный выстрел принадлежит первому расчету?

До опыта возможны четыре гипотезы \(H_1=AB, H_2=A \overline B, H_3=\overline A B, H_4=\overline A \cdot \overline B\); эти гипотезы образуют полную группу событий.

Вероятности их, при независимом действии расчетов, соответственно равны

\[P(H_1)=0.2 \cdot 0.1=0.02,\]

\[P(H_2)=0.2 \cdot 0.9=0.18,\]

\[P(H_3)=0.8 \cdot 0.1=0.08,\]

\[P(H_4)=0.8 \cdot 0.9=0.72,\]

причем \(P(H_1)+P(H_2)+P(H_3)+P(H_4)=1.\)

Условные вероятности для наблюдаемого события \(C\) при данных гипотезах будут

\[P(C/H_1)=0,\]

\[P(C/H_2)=1,\]

\[P(C/H_3)=1,\]

\[P(C/H_4)=0.\]

Следовательно, гипотезы \(H_1\) и \(H_4\) отпадают, а вероятности гипотез \(H_2\) и \(H_3\) вычисляются по формуле Байеса

\[P(H_2/C)=\frac {0.18 \cdot 1}{0.18 \cdot 1+0.08 \cdot 1} \approx 0.7,\]

\[P(H_3/C)=\frac {0.08 \cdot 1}{0.18 \cdot 1+0.08 \cdot 1} \approx 0.3.\]

Таким образом, с вероятностью приблизительно 0.7 можно утверждать, что удачный выстрел принадлежит первому расчету.

Авторизуйтесь, чтобы получить возможность оставлять комментарии

Форма Входа

М.В.ЛомоносовВеликие люди о математике

Математика - это язык, на котором говорят все точные науки." (Н.И.Лобачевский)

Отзывы

Спасибо! Заказ выполнен вовремя. Решение подробное и понятное. Работа зачтена, я всем довольна.

Елена.

Благодаря Вам сдал контрольную в срок и получил допуск к экзамену. Самому разобраться было некогда. Спасибо, что выручили.

Алексей.

Работа была сделана качественно и не вызвала у преподавателя никаких вопросов. Цена невысокая. Спасибо, буду обращаться ещё.

Карина.

© 2020 Решение задач и контрольных работ по высшей математике и физике в Саратове. Все права защищены.