Решим контрольную работу или задачу по высшей математике в короткий срок за разумные деньги. 
Рассмотрим следующую задачу: имеется полная группа несовместных гипотез
\[H_1, H_2, ..., H_n ,\]
вероятности которых \(P(H_i) (i=1, 2, ..., n)\) известны до опыта (вероятности априори). Производится опыт (испытание), в результате которого зарегистрировано появление события \(A\), причем известно, что этому событию наши гипотезы приписывали определенные вероятности \(P(A/H_i) (i=1, 2, ..., n)\). Спрашивается, каковы будут вероятности этих гипотез после опыта (вероятности апостериори).
Например, очевидно, следует отбросить гипотезы, отрицающие появление события \(A\). Вообще, проблема состоит в том, что, имея новую информацию, мы должны переоценить вероятности наших гипотез.
Иными словами, нам нужно определить условные вероятности
\[P(H_i/A) (i=1, 2, ..., n).\]
На основании теоремы умножения вероятностей имеем
\[P(AH_i)=P(A) \cdot P(H_i/A)=P(H_i) \cdot P(A/H_i);\]
отсюда
\[P_A(H_i)= \frac{P(H_i)}{P(A/H_i)}{P(A)} (i=1, 2, ..., n). \tag{1}\]
Для нахождения вероятности \(P(A)\) можно использовать формулу полной вероятности
\[P(A)=\sum \limits_{j=1}^n P(H_j) P(A/H_j). \tag{2}\]
Отсюда имеем формулу вероятностей гипотез после опыта (формулу Байеса)
\[P(H_i/A)= \frac{P(H_i) P(A/H_i)}{\sum \limits_{j=1}^n P(H_j) P(A/H_j)} (i=1, 2, ..., n). \tag{3}\]
Пример
Вероятность поражения самолета при одиночном выстреле для 1-го ракетного расчета (событие A) равна 0.2, a для 2-го (событие B) -0.1. Каждое из орудий производит по одному выстрелу, причем зарегистрировано одно попадание в самолет (событие С). Какова вероятность, что удачный выстрел принадлежит первому расчету?
До опыта возможны четыре гипотезы \(H_1=AB, H_2=A \overline B, H_3=\overline A B, H_4=\overline A \cdot \overline B\); эти гипотезы образуют полную группу событий.
Вероятности их, при независимом действии расчетов, соответственно равны
\[P(H_1)=0.2 \cdot 0.1=0.02,\]
\[P(H_2)=0.2 \cdot 0.9=0.18,\]
\[P(H_3)=0.8 \cdot 0.1=0.08,\]
\[P(H_4)=0.8 \cdot 0.9=0.72,\]
причем \(P(H_1)+P(H_2)+P(H_3)+P(H_4)=1.\)
Условные вероятности для наблюдаемого события \(C\) при данных гипотезах будут
\[P(C/H_1)=0,\]
\[P(C/H_2)=1,\]
\[P(C/H_3)=1,\]
\[P(C/H_4)=0.\]
Следовательно, гипотезы \(H_1\) и \(H_4\) отпадают, а вероятности гипотез \(H_2\) и \(H_3\) вычисляются по формуле Байеса
\[P(H_2/C)=\frac {0.18 \cdot 1}{0.18 \cdot 1+0.08 \cdot 1} \approx 0.7,\]
\[P(H_3/C)=\frac {0.08 \cdot 1}{0.18 \cdot 1+0.08 \cdot 1} \approx 0.3.\]
Таким образом, с вероятностью приблизительно 0.7 можно утверждать, что удачный выстрел принадлежит первому расчету.
Великие люди о математике
E-mail
Skype
Телефон
