Хвостам - НЕТ! - Центр помощи студентам

У нас Вы можете заказать решение задач или контрольной работы!

Решение задач и контрольных работ по высшей математике
Онлайн учебник  
 
Примеры решения задач  
 
Формулы
 
Таблицы
 
Литература
Решим контрольную работу или задачу по высшей математике в короткий срок за разумные деньги. Подробнее.. 

Элементы комбинаторики

Рассмотрим совокупность \(n\) различных элементов

\[a_1, a_2, ..., a_n.\]

Произвольную упорядоченную выборку (возможно, с повторениями) из этих элементов

\[a_{{\alpha}_1}, a_{{\alpha}_2}, ..., a_{{\alpha}_m} (1 \le {\alpha}_k \le n; k=1, ..., m)\]

будем называть соединением.

 Например, при бросании монеты 10 раз выпадение герба (Г) и выпадение решки (Р) могут дать соединение

ГГГГРРГРРР.

Размещениями из \(n\) элементов по \(m\) \((m \le n)\) называются их соединения, каждое из которых содержит ровно \(m\) различных элементов (выбранных из данных элементов) и которые отличаются либо самими элементами, либо порядком элементов.

Определим число \(A_n^m\) размещений из \(n\) элементов \(a_1, a_2, ..., a_n\) по \(m\).

Пусть \(a_{{\alpha}_1}, a_{{\alpha}_2}, ..., a_{{\alpha}_m}\) - всевозможные размещения, содержащие \(m\) элементов. Будем эти размещения строить последовательно. Сначала определим \(a_{{\alpha}_1}\) - первый элемент размещения. очевидно, из данной совокупности \(n\) элементов его можно выбрать \(n\) различными способами. После выбора первого элемента \(a_{{\alpha}_1}\), для второго элемента \(a_{{\alpha}_2}\) остается \(n-1\) способов выбора и т.д. Так как каждый такой выбор дает новое размещение, то все эти выборы можно свободно комбинировать между собой. поэтому имеем

\[A_n^m=n(n-1)(n-2) \cdots [n-(m-1)]. \tag{1}\]

Вводя обозначение факториала

\[n!=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n,\]

формулу (1) можно записать в следующем виде:

\[A_n^m= \frac{n!}{(n-m)!}. \tag{2}\]

Соединения из \(n\) элементов, каждое из которых содержит все \(n\) элементов и которые отличаются лишь порядком элементов, называются перестановками.

Очевидно, число перестановок из \(n\) элементов равно

\[A_n^n=n(n-1)(n-2) \cdots [n-(n-1)]=n!. \tag{3}\]

Условно считают, \(0!=1.\)

Обозначим через \(C_n^m\) из \(n\) элементов по \(m\).

Рассмотрим все допустимые сочетания наших элементов

\(a_{{\alpha}_1}, a_{{\alpha}_2}, ..., a_{{\alpha}_m};\)

Делая в каждом из них \(m!\) возможных перестановок их элементов, очевидно, получим все размещения из \(n\) элементов по \(m\). таким образом, имеем формулу

\[C_n^m \cdot m!=A_n^m;\]

отсюда

\[C_n^m=\frac {A_n^m}{m!}= \frac{n(n-1)(n-2) \cdots [n-(n-1)]}{m!}. \tag{4}\]

Формулу (4) можно представить также в виде

\[C_n^m = \frac {n!}{m! (n-m)!}. \tag{5}\]

Символ \(C_n^m\) обладает очевидным свойством

\[C_n^m=C_n^{n-m}. \tag{6}\]

Пример

Партия из 10 деталей содержит одну нестандартную. Какова вероятность, что при случайной выборке 5 деталей из этой партии все они будут стандартными (событие A)?

Здесь число всех случайных выборок \(n=C_{10}^5\), а число выборок, благоприятствующих событию \(A\) есть \(m=C_9^5.\) Таким образом, искомая вероятность равна

\[P(A)=\frac{C_9^5}{C_{10}^5}=\frac{9!}{5!4!} \cdot \frac{5!5!}{10!}=\frac12.\]

Другие материалы в этой категории: « Формула Байеса Формула Бернулли »
Авторизуйтесь, чтобы получить возможность оставлять комментарии

Форма Входа

М.В.ЛомоносовВеликие люди о математике

Предмет математики столь серьезен, что не следует упускать ни одной возможности сделать его более занимательным." (Б.Паскаль)

Отзывы

Спасибо! Заказ выполнен вовремя. Решение подробное и понятное. Работа зачтена, я всем довольна.

Елена.

Благодаря Вам сдал контрольную в срок и получил допуск к экзамену. Самому разобраться было некогда. Спасибо, что выручили.

Алексей.

Работа была сделана качественно и не вызвала у преподавателя никаких вопросов. Цена невысокая. Спасибо, буду обращаться ещё.

Карина.

© 2020 Решение задач и контрольных работ по высшей математике и физике в Саратове. Все права защищены.