Хвостам - НЕТ! - Центр помощи студентам

У нас Вы можете заказать решение задач или контрольной работы!

Решение задач и контрольных работ по высшей математике
Онлайн учебник  
 
Примеры решения задач  
 
Формулы
 
Таблицы
 
Литература
Решим контрольную работу или задачу по высшей математике в короткий срок за разумные деньги. Подробнее.. 

Формула Бернулли

Событие \(A\) называется независимым в данной системе испытаний, если вероятность этого события в каждом из них не зависит от исходов других испытаний.

Серия повторных независимых испытаний, в каждом из которых данное событие \(A\) имеет однут и ту же вероятность \(P(A)=p\), не зависящую от номера испытания, называется схемой Бернулли.

Таким образом, в схеме Бернулли для каждого испытания имеются только два исхода: 1) событие \(A\) ("успех") и событие \(\overline A\) ("неудача"), с постоянными вероятностями \(P(A)=p\) и \(P(\overline A)=q\), причем, очевидно, \(p+q=1\).

Рассмотрим задачу: в условиях схемы Бернулли определить вероятность \(P_n(m)\) \((0 \le m \le n)\) того, что при \(n\) испытаниях событие \(A\), имеющее одну и ту же вероятность \(P(A)=p\) для каждого отдельного испытания, появится ровно \(m\) раз.

Благоприятные серии испытаний здесь имеют вид

\[A_{{\alpha}_1} A_{{\alpha}_2} ...  A_{{\alpha}_n},\]

где \(A_{{\alpha}_i}=A\) или \(\overline A\) \((i=1,2,...,n)\), причем событие \(A\) встречается ровно \(m\) раз, а событие \(\overline A\) - ровно \((n-m)\) раз. Так как испытания независимы, то вероятность реализации одной такой благоприятной серии равна

\[p^mq^{n-m},\]

где \(p=P(A)\), \(q=P(\overline A)=1-p\). Все благоприятные серии получаются в результате выбора различных \(m\) номеров испытаний из общего количества \(n\) номеров и, следовательно, число их равно \(C_n^m\). Отсюда, применяя теорему сложения вероятностей для случая несовместных событий, для вероятности появления события \(A\) точно \(m\) раз при \(n\) испытаниях получим формулу Бернулли.

Формула Бернулли

\[P_n(m)=C_n^m p^m q^{n-m}=\frac {n!}{m! (n-m)!} p^m q^{n-m}.\]

Эта формула называется также биномиальной.

Пример

Найти вероятность того, что при 10-кратном бросании монеты герб выпадет ровно 5 раз.

Здесь вероятность выпадения герба при одиночном испытании \(p=\frac 12\), отсюда \(q=1-p=\frac 12\).

По формуле Бернулли имеем

\[P_{10} (5)=C_{10}^5 {\left( \frac 12\right)}^5 {\left( \frac 12\right)}^5=\frac {10!}{5! \cdot 5!} \cdot {\left( \frac 12\right)}^{10}=\frac{252}{1024} \approx 0.25.\]

Другие материалы в этой категории: « Элементы комбинаторики
Авторизуйтесь, чтобы получить возможность оставлять комментарии

Форма Входа

М.В.ЛомоносовВеликие люди о математике

Математика есть лучшее и даже единственное введение в изу­чение природы." (Д.И.Писарев)

Отзывы

Спасибо! Заказ выполнен вовремя. Решение подробное и понятное. Работа зачтена, я всем довольна.

Елена.

Благодаря Вам сдал контрольную в срок и получил допуск к экзамену. Самому разобраться было некогда. Спасибо, что выручили.

Алексей.

Работа была сделана качественно и не вызвала у преподавателя никаких вопросов. Цена невысокая. Спасибо, буду обращаться ещё.

Карина.

© 2020 Решение задач и контрольных работ по высшей математике и физике в Саратове. Все права защищены.