Версия для печати

Классическое определение вероятности

Пусть событие \(A\) - некоторый исход испытания и

\[E_1, E_2, ...,E_n \tag{1}\]

- конечная система всех возможных элементарных исходов этого испытания. Таким образом, событие \(A\) происходит тогда, когда имеют место некоторые события из системы (1) (благоприятные исходы).

Вероятность \(P(A)\) события \(A\) - это отношение числа элементарных исходов, благоприятных событию \(A\), к общему числу всех элементарных исходов данного испытания.

Таким образом, если \(m\) - число элементарных исходов, благоприятных событию \(A\), и \(n\) - общее число всех элементарных исходов при данном испытании, то на основании определения имеем формулу

\[P(A)=\frac mn. \tag{2}\]

Так как, очевидно,

\[0 \le m \le n,\]

то

\[0 \le P(A) \le 1, \tag{3}\]

т. е. вероятность любого события есть неотрицательное число, не превышающее единицы.

Из определения вероятности вытекают следующие основные ее свойства.

1. Вероятность невозможного события равна нулю.

Действительно, если событие \(A\) невозможно, то число благоприятных ему элементарных исходов \(m=0\), и мы имеем

\[P(A)=\frac0n=0.\]

2. Вероятность достоверного события равна единице.

В самом деле, если событие \(A\) достоверно, то, очевидно, \(m=n\) и, следовательно,

\[P(A)=\frac nn=1.\]

Событие \(\overline A\), происходящее тогда и только тогда, когда не происходит событие \(A\), называется противоположным событию \(A\).

 

Вероятность противоположного события \(\overline A\) равна дополнению вероятности данного события \(A\) до 1, т. е.

\[P(\overline A)=1-P(A).\]

Действительно, пусть полная система элементарных исходов содержит \(n\) событий, из которых \(m (m \le n)\) благоприятны событию \(A\). Тогда \(n-m\) элементарных исходов неблагоприятны событию \(\overline A\). Таким образом, имеем

\[P(\overline A)=\frac{n-m}{n}=1-\frac mn=1-P(A).\]

Приведем примеры на вычисление вероятностей событий.

Пример 1

Монета бросается два раза. Какова вероятность: 1) выпадения герба хотя бы один раз (событие A); 2) двукратного выпадения герба (событие B)?

Равнововозможными элементарными исходами здесь являются: ГГ, ГР, РГ, РР; их число \(n=4\).

Событию A благоприятствуют исходы ГГ, ГР, РГ, число которых \(m=3\). Следовательно,

\[P(A)=\frac mn=\frac 34.\]

Событию И благоприятствует один исход ГГ (\(m'=1\)). Поэтому

\[P(B)=\frac {m'}n=\frac 14.\]

Пример 2

Игральная кость бросается два раза. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков равна 6 (событие A)?

Равновозможными элементарными исходами здесь являются пары \((x,y)\), где \(x\) и \(y\) принимают значения : 1,2,3,4,5,6; общее число элементарных исходов \(n=36\).

Событию A благоприятствуют пары (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1), число которых \(m=5\).

Следовательно,

 \[ P(A)=\frac mn= \frac 5{36}.\]

Похожие материалы (по тегу)

Авторизуйтесь, чтобы получить возможность оставлять комментарии